带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题
求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。
一、磁场范围为圆形 例1 一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）b点的坐标。
二、磁场范围为矩形
例2 如图3所示，直角坐标系xoy第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场。现有一质量为
，电量为的电子从第一象限的某点
（
，
3L）以初速度8沿轴的负
方向开始运动，经过轴上的点Q（
L，0）进入第四象限，4先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力。求 （1）电子经过Q点的速度； （2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积
。
三、磁场范围为三角形 例3 如图5，一个质量为
，带
电量的粒
子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：
（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间t； （3）该正三角形区域磁场的最小边长；
四、磁场范围为树叶形 例4 在
平面内有许多电子（质量为
、电量为），从坐
标O不断以相同速率加一个垂直于
沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现
的匀强磁场，要求这些
平面向内、磁感强度为
电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
练习
1、如图1所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。（重力忽略不计）
2如图3所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入磁感应强度为B。方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC方向，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）
3如图5所示，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
4如图5所示，在正方形ABCD的适当区域中有匀强磁场。现有一放射源放置于正方形ABCD顶点A处，可由A点向正方形区域内的各个方向放射质量为m、速度为v0、带电量为e的电子。若沿AD方向发射的电子经磁场偏转后恰好可由D点射出。要使放射源由A放射的所有电子穿出匀强磁场时，都只能垂直于BC向右射出，试求匀强磁场区域分布的最小面积S。（粒子重力忽略不计）
5如图7所示，直角三角形ABC中?CAB?30?,边长AB?a。假设在顶点A处有一放射源可沿?CAB所夹范围的各个方向放射出质量为m、速度为v0、带电量为e的电子。在三角形ABC的适当区域内有匀强磁场。当电子从顶点A沿AC方向射入磁场时，电子恰好从B点射出。要使放射出的电子穿过磁场后，都只能沿平行于AB方向向右运动，试求（1）此匀强磁场B1的大小和方向；（2）匀强磁场区域分布的最小面积S。（粒子重力忽略不计）
6如图9所示，等边三角形ABC的边长为a，在顶点A处放置一放射源，可沿?CAB所夹范围的各个方向放射出质量为m、速度为v0、带电量为e电子。在三角形ABC内适当区域内有匀强磁场。当电子从顶点A沿?CAB的角平分线方向射入磁场时，恰好能从B点射出。试求：
（1）此匀强磁场的大小和方向；
（2）能使从A点放射出的电子经匀强磁场后沿平行于AB方向射出的匀强磁场的最小有界磁场面积S。（粒子重力忽略不计）
1 解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。可知，其离开磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过点逆着速度
的方向作虚线，与
轴相交，
由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的即为圆周运动的圆心，圆的半径
。
点
由 ，得。弦长为：，
要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即：，
面积
（2）粒子运动的圆心角为120，时间
0
。
（3）距离 ，故点的坐标为（，0）。
点，可知竖直方向：
2解析：（1）电子从点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到
，水平方向：
。
解得。而
，所以电子经过点时