x2y227.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半ab2
径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足OA＋OB→→→25＝tOP(O为坐标原点)，当|PA－PB|＜时，求实数t的取值范围．
3
2
8．如图17－3，已知中心在原点的椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y2
2
＝－4x的焦点重合．
(1)求椭圆Ω的方程；
x2y2x0xy0y
(2)若椭圆2＋2＝1(a>b>0)上以点(x0，y0)为切点的切线方程为：2＋2＝1.
abab
①过直线l：x＝2上点M引椭圆Ω的两条切线、切点分别为A、B.求证：直线AB恒过定点C.
→→→→
②是否存在实数λ，使得|AC|＋|BC|＝λ|AC|·|BC|，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
图17－3
专题限时集训(十七)A
【基础演练】
|4x－y－5||4x－4x2－5|
1．C 【解析】 抛物线上的点到直线y＝4x－5的距离是d＝＝＝
17171
x－?2＋44??2?1
，显然这个函数当x＝时取得最小值，此时y＝1.
217
→→
2．A 【解析】 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由BP＝2PA得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，3→→即a＝x>0，b＝3y>0.点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝
23
1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
2
3．A 【解析】 求出点A，B的坐标，设出P点坐标，根据斜率公式和点P的坐标适合双曲线方程进行变换．
?－12，－6?，B?12，6?，P(x，y)， A???700
7?7??7
6636y0－y20－777
则kPA·kPB＝·＝，
12121442x0＋x0－x0－
777
y0＋
而
36
y2＝40－
7
81??x0－1?－36＝4?x2
0－9－7? ?9?79?
2
42144?x－＝?， 9?07?3674
所以kPA·kPB＝＝.
14492x0－7
y20－4．15 【解析】 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，
易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝15.
【提升训练】
1．B 【解析】 圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．
2．A 【解析】 点P到直线l2的距离等于到焦点F的距离，故所求的线段之和的最小10
值就是焦点F到直线l1的距离，即＝2.
5
11
0，?，设直线AB的方程为y＝kx＋，代入抛3．D 【解析】 抛物线的焦点坐标是??8?811
物线方程得2x2－kx－＝0，根据韦达定理得x1x2＝－. 816
x2y2
4．B 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由于点A，B在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，所
ab
22
?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?x1y2x2y212以2＋2＝1，2＋2＝1，两式相减得＋＝0.设直线AB的斜率ababa2b2b2x0a2y0为k，则得k＝－2，从而线段AB的垂直平分线的斜率为2，线段AB的垂直平分线的方
ay0bx0a2y0a2y0
程为y－y0＝2(x－x0)．由于线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0)，所以0－y0＝2(1
bx0bx0a2a2a2?1?29
－x0)，解得x0＝22.又22＝2＝?e?，所以x0＝. 4a－ba－bc
5．－3 【解析】 抛物线方程为x2＝4y，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)，设直
线BC的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程整理得x2－4kx－4＝0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，→→→→则AB·AC＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1，根据韦达定理代入得AB·AC＝－3.
→
6．2x＋4y＋1＝0 【解析】 设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2OQ
??x1＝3x，→
＝QP得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即?
?y1＝3y.?
∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y
＋1＝0，即为所求轨迹方程．
1＋c2a2a2
7．【解答】 (1)由题知b＝1，由点M在直线x＝上，得＝2，故＝2，∴c＝1，
cccx22
从而a＝2，所以椭圆方程为＋y＝1.
2
(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0， ttt
y－?2＝＋1，其圆心为?1，?， 即(x－1)＋??2?4?2?
2
2
半径r＝
t2＋1. 4
因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，
|3－2t－5|t
所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝r2－1＝，解得t＝4，所求圆的
52方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(3)证法一：设OM，FN交于点K，由平面几何知识知 |ON|2＝|OK||OM|，
t2
直线OM：y＝x，直线FN：y＝－(x－1)，
2t
?y＝2x，
由?2
y＝－?t?x－1?
∴|ON|＝
2
t
24
得xK＝2，
t＋4
22
4?1＋t?xK·?1＋t?xM＝?1＋t?·2＝2， 2?4??4??4?t＋4·
所以线段ON的长为定值2. 证法二：设N(x0，y0)，则
→→→
FN＝(x0－1，y0)，OM＝(2，t)，MN＝(x0－2，y0－t)， →
ON＝(x0，y0)，[来源:Z+xx+k.Com]
→→
∵FN⊥OM，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2， →→
又∵MN⊥ON，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，
2∴x0＋y20＝2x0＋ty0＝2.
→2所以|ON|＝x20＋y0＝2为定值．
x2y28．【解答】 (1)设椭圆的标准方程是2＋2＝1(a>b>0)．
ab
3c
由于椭圆的一个顶点是A(0，2)，故b＝2，根据离心率是得＝2a
2
a2－b23
，解2＝a2
得a2＝8.
x2y2
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
82(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)．
→→
|PM||MQ|2－22＋2
①若直线l与y轴重合，则＝＝＝，解得y0＝1，得λ＝2；
→→2－y2＋y00|PN||NQ|若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立消去y得
(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，根据韦达定理得 16k8
x1＋x2＝－. 2，x1x2＝1＋4k1＋4k2→→
0－x10－x2|PM||MQ|
由＝，得＝， →→x0－x1x2－x0|PN||NQ|整理得2x1x2＝x0(x1＋x2)， 1
把上面的等式代入得x0＝－.
k
1
－?＋2＝1，于是有1 λ＝＝－1，由1 专题限时集训(十七)B 【基础演练】 →→ 1．B 【解析】 由题知PA＝(1－x,1－y)，PB＝(－1－x，－1－y)， x2x2y2→→2222 所以PA·PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x＋y－2.由已知x＋y－2＝，即＋242＝1， 所以点P的轨迹为椭圆． c 2．D 【解析】 易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故b>c?b2>c2，即a2>2c2? a<2. 2 3．C 【解析】 点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，这个值即为所求． 4．A 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M的坐标是? x1＋x2y1＋y2??2，2?， 2 y2－y1y1＋y2y292－y1AB的斜率k1＝，OM的斜率k2＝，故k1·k2＝22，根据双曲线方程y2＝(x2 16x2－x1x1＋x2x2－x12 －16)，故y22－y1＝ 9229 (x2－x1)，故k1·k2＝. 1616 【提升训练】 1．C 【解析】 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4. π 2．B 【解析】 根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB：x＝－c，代入双曲线方程 4b2?b4b2πb2?得y＝2，取点A?－c，a?，则|AF|＝，|EF|＝a＋c.只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即 aa4a 2 ＋c，即b21，故1 3．C 【解析】 方法一：F1(－13，0)，F2(13，0)，|F1F2|＝213，设P(x0，y0)，则 2 1252122 △PF1F2的面积S＝×213|y0|＝12，故y0＝，代入双曲线方程得x0＝. 21313 5131213根据对称性取点P，，此时|PF1|＝ 13131812132＋2＝1313 51312132＋132＋＝ 1313 62?32＋22? ＝6，根据双曲线定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝4，即三角形13 π F1PF2的三边长分别是6,4,213，由于62＋42＝(213)2，故∠F1PF2＝. 2 ??|x－y|＝2，→→ 方法二：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则有?22化简得xy－xycos ?x＋y－2xycos∠F1PF2＝52，? 1－cos∠F1PF21 ∠F1PF2＝24，而xysin∠F1PF2＝12，所以＝1， 2sin∠F1PF2 即sin∠F1PF2＋cos∠F1PF2＝1. 上式平方各得sin∠F1PF2cos∠F1PF2＝0， 而在三角形中sin∠F1PF2≠0， π 故cos∠F1PF2＝0，所以∠F1PF2＝. 2