电磁学试题 第一章 静电场的基本规律
?????r2?l??E1?dS?2?r?l?E1??0r r>R ?????R2?l??E2?dS?2?r?l?E2??0 ----------3分 ??R2?E2?er2?0r ----------------2分 3、一无限大的均匀带电平面上有一半径为R的小圆孔，设带电平面的电荷面密度为?，试求通过圆孔中心，且垂直于带电平面的轴线上一点P处的电场强度。 答案内容：解法一：取一细圆环带，其半径r（r>R），带度为dr，如图所示，则圆环带的面积为dS ?2?rdr，其上带电量为 ----------1分 dq??ds??2?rdr -----------3分 应用已知的带电细圆环在轴线上的场强公式，可得该圆环带在轴线上P点产生电场的大小 dE??2?rdrx4??0(x2?r2)---------------3分 32rRdr因此，该系统在P点产生的总场强的大小为 ?pxE??dE????E??R?2?rdr?x224??（x?r）032??x2?0R2?x2 -----------3分 ?x2?0R2?x2?i -------------1 分 解法二：采用补偿法。若在圆孔上补一个半径为R，电荷面密度为??的圆盘，则P点处的 ?E场强可以看成是电荷密度为??的无限大均匀电平面在P点产生的场强1和电荷面密度为 ???半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和，即--------2分 11 R???px?电磁学试题 第一章 静电场的基本规律 ??? EP?E1?E2-----------2分 ???E1?i2?0（无限大平面）--------4分 其中 ??x?E2??（1?）i2?0R2?x2 （带电圆盘）---------4分 ?E?所以 ?x2?0R?x22?i -------1分 解法二：采用补偿法。若在圆孔上补一个半径为R，电荷面密度为??的圆盘，则P点处的 ?场强可以看成是电荷密度为??的无限大均匀电平面在P点产生的场强E1和电荷面密度为 ?E??半径为R的带电圆盘在P点产生的场强2的矢量和，即--------2分 ???EP?E1?E2-----------2分 ???E1?i2?0（无限大平面）--------4分 其中 ??x?E2??（1?）i222?0R?x （带电圆盘）---------4分 ?R???px?E?所以 ?x2?0R?x22?i -------1分 4、两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径为R1，带电q1，外球壳半径为R2，带电q2，试求两球壳之间任一点P(R1?r?R2)的场强与电势？ 答案内容： ??解： 由高斯定理 ??E?dS?s?q ------------2分， ?02q2q1 ?P 60?OR1R2选择半径为r的球面为高斯面， 则 E?4?r?当R1?r?R2时，?q?q1， E?U?U1?U2?q14??0r?q24??0R2?q ----------3分， ??0q14??0r1?r -------------3分 3(q1q2?)。-------------3分 rR2= 4??0 12 电磁学试题 第一章 静电场的基本规律 r5、一半径为R的带电球，其电荷体密度为???0(1-)，ρ0为一常量，r为空间某点至球 R心的距离。试求球内外的场强分布 答案内容：解：由高斯定理 ?E?4?r2???E???dS?s?q，选择半径为 ?01r2r的球面为高斯面----2分 则 ?q-----2分 ?0 r?R 时， ?q?????4?r00dr------1分 ?0443q??r???30R?r -----1分 ?0?r?0r2 ----------2分 3?04R?0R ?E? r?R 时， 132q?4??r?dr??R?0------1分 ??30R3?0 ?E? -------2分 12?0r2 6、一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。（1）求轴线上离环中心O为x处的场强E；（2）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？ 解：（1）dE?dqq -------1分 dq??dl?dl-------2分 4??0r22?R由于对称性整个圆环在P点处电场沿x方向 ??E???dEcos?i?dqx??r2?ri --------2分 4??0?1xq0 ?x4??0r3?dq?4??r?i?3xq4??0(x2?R2)32?i --------1分 ??dEd?qx??=0 ----------3分 （2）求E极值 ?322dxdx?4??(x?R)2?0??R22x?,x??R ---------1分 222即距圆心左右两侧 ??q2iR处有场强最大值Emax? -------1分 2263??0R 13 电磁学试题 第一章 静电场的基本规律 7、对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为?1和?2，求各区域内的场强分布。 ??q解：由于场的对称性，可用高斯定理??E?ds?来求场强，---------2分 ?0空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ之区，则有 ?Ⅰ、r?R1 EⅠ?0 --------3分 ?Ⅱ、R1?r?R2 EⅡ??1? --------3分 r2??0r????2? --------3分 rⅢ、r?R2 EⅢ?12??0r8、电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，证明离球心r处（r Q(3R2?r2)U? 38??0R解：先用Gauss定理得 E内?QrQ ------3分 ， --------2分 E?外324??0R4??0r离球心r处 (r?R)的电位： ??R???u??E内?dl??E外?dl?rRQ4??0R3?Rrrdr?Q4??0??Rdr ----------3分 2rQ(R2?r2)QQ(3R2?r)2?? ? ---------3分 4??0R8??0R38??0R39、半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为?，以轴线为电位参考点，求其电位分布。 解：由高斯定理得： ???R2??r?0 --------2分 r0 ----------2分 E内?r E外?2?0r2?0以轴线为电位参考点 u内??0r?o?r?r2?E?dr??dr?? (r?R) ----------3分 r2?内4?002R?R?R2?R2?R2Ru外???dr???ln 4?0?r2?0r4?02?0r 14 电磁学试题 第一章 静电场的基本规律 ?R2R(2ln? 1 ) (r?R)----------4分 ?4?0r10、求面电荷密度为?的无限长均匀带电圆柱面的场强分布，其底面半径为R。 解：分析对称性，可用高斯定理来求解，作一同轴圆柱面作为高斯面（如图）----2分 ??E圆柱面内： ???ds?0 ------3分 ?E?0 -------1分 ??2?RL?圆柱面外： ??------3分 E??ds?rL高斯面 ?0? rL)? (E?2?E?2?RL??0 ?R---------2分 r?0?211、设有一个电量q?1.5?10库的点电荷。试求：（1）电位为30伏特的等位面的半径有多 大？（2）电位差为1.0伏特的任意两个等位面，其半径之差是否相同？ 9、答案内容： 解： （1） 以无限远为参考点 u?q4??0r --------3分 1.5?10?830? ?r?4.5（米） ---------1分 4??8.9?10?12r（2）设半径差为?r,则r2?r1??r ?V?q?11???? ---------3分 4??0?r1r1??r?而1.0伏=V ?4??0?r? r1(r1??r)q?4??0r1?4??02?r?1?r1 ??qq????r?r12q4??0?r1 -------2分 现r1不同时，?r亦不同。----------1分 15