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（2009益阳）如图11，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
A
F E B D G C 图11
(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF ∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°
又∵AE＝AD，AF＝AD ∴AE＝AF
∴四边形AEGF是正方形
(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x ∵BD＝2，DC＝3 ∴BE＝2 ，CF＝3 ∴BG＝x－2，CG＝x－3
222
在Rt△BGC中，BG＋CG＝BC
222
∴( x－2)＋(x－3)＝5
2
化简得，x－5x－6＝0
解得x1＝6，x2＝－1（舍） 所以AD＝x＝6
1（2010南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝2BC．
（1）求∠BAC的度数． （2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形． （3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
A A G B O F E D H A C G B O F E D H C
G B O F E D H C
（1）解：连结OB和OC． ∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE． ∵ OE＝
1BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． 2（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， ∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． ∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°． ∴ 四边形AFHG是正方形．
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102． 解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）． ∴ AD＝12．
（2013?呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 （0，12）或（0，﹣12） ． 考圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理． 点： 分如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C． 析： 注意点C有两个． 解解：设线段BA的中点为E， 答： ∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）． （1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=； 以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C， ∵∠BCA为⊙P的圆周角， ∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求． 过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1， 在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7， ∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴点C坐标为（0，12）； （2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）． 综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）． 故答案为：（0，12）或（0，﹣12）． （2008北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?x2?bx?c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，将直线y?kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点． （1）求直线BC及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且?APD??ACB，求点P的坐标； （3）连结CD，求?OCA与?OCD两角和的度数． 解：（1） （2） 24．解：（1）y 4 3 2 1 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 x y?kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C， ?C(0，3)． 设直线BC的解析式为y?kx?3． B(3，0)在直线BC上， ?3k?3?0． 解得k??1． ?直线BC的解析式为y??x?3． ·························································
抛物线y?x2?bx?c过点B，C， ?9?3b?c?0， ??c?3．?解得??b??4， ?c?3．?抛物线的解析式为y?x2?4x?3． ······················································
（2）由y?x2?4x?3． 可得D(2，?1)，A(1，0)． y 4 3 C 2 1 ?OB?3，OC?3，OA?1，AB?2． 可得△OBC是等腰直角三角形． ??OBC?45，CB?32． 如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F， -2 -1 O 1 2 F 3 4 -1 D -2 P? 图1 A P E B x ?AF?1AB?1． 2过点A作AE?BC于点E． ??AEB?90． 可得BE?AE?2，CE?22． 在△AEC与△AFP中，?AEC??AFP?90，?ACE??APF， ?△AEC∽△AFP． ?AECE222?，． ?AFPF1PF解得PF?2． 点P在抛物线的对称轴上， 2)或(2，?2)． ···························································?点P的坐标为(2，