∴=，∴y=±2 将y=2代入抛物线y=﹣x+x+2，得x1=0，x2=3． 当y=﹣2时，不合题意舍去． ∴E点坐标为（0，2），（3，2）． （3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F， 2 ∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°． 设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得 ， ∴， yBC=﹣x+2． 由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得 0=﹣×（﹣1）+n ∴n=﹣， yAD=﹣x﹣． ∴﹣x2+x+2=﹣x﹣， 解得：x1=﹣1，x2=5 ∴D（﹣1，0）与A重合，舍去，D（5，﹣3）． ∵DE⊥x轴， ∴DE=3，OE=5． 由勾股定理，得BD=． ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）， ∴OA=1，OB=4，OC=2． ∴AB=5 在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得 AC=，BC=2， ∴AC2=5，BC2=20，AB2=25， ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°． ∵BC∥AD， ∴∠CAF+∠ACB=180°， ∴∠CAF=90°． ∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°， ∴四边形ACBF是矩形， ∴AC=BF=， ， 在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=∴DF=BF， ∴∠ADB=45°．
0?、C?0，4?两点，与x轴交（2009武汉）如图，抛物线y?ax2?bx?4a经过A??1，于另一点B．
⑴求抛物线的解析式；
m?1?在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； ⑵已知点D?m，⑶在⑵的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45?，求点P的坐标．
y C
A O B x 0?，C?0，4?两点， 【答案】解：⑴∵抛物线y?ax2?bx?4a经过A??1，?a?b?4a?0 ∴??4a?4??a??1 解得??b?3∴抛物线的解析式为y??x2?3x?4．
y C D
A E O B x m?1?在抛物线上，∴m?1??m2?3m?4， ⑵∵点D?m，即m2?2m?3?0，∴m??1或m?3．
4?． ∵点D在第一象限，∴点D的坐标为?3，由⑴知OC?OB，∴?CBA?45?．
设点D关于直线BC的对称点为点E．
4?，∴CD∥AB，且CD?3， ∵C?0，∴?ECB??DCB?45?，
∴E点在y轴上，且CE?CD?3．
1?． ∴OE?1，∴E?0，y C P A F O E D
B x 1?． 即点D关于直线BC对称的点的坐标为?0，⑶方法一：作PF?AB于F，DE?BC于E． 由⑴有：OB?OC?4，∴?OBC?45?， ∵?DBP?45?，?CBD??PBA．
4?，D?3，4?，∴CD∥OB且CD?3． ∵C?0，∴?DCE??CBO?45?，
32∴DE?CE?．
2∵OB?OC?4，∴BC?42，∴BE?BC?CE?DE3?． BE5设PF?3t，则BF?5t，∴OF?5t?4，
3t?． ∴P??5t?4，∵P点在抛物线上，
52， 2∴tan?PBF?tan?CBD?∴3t????5t?4??3??5t?4??4， ∴t?0（舍去）或t?y 222?266?，∴P??，?． 25?525?Q C P G D
B A O H x 方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH?x轴于
H．过Q点作QG?DH于G． ∵?PBD?45?,∴QD?DB． ∴?QDG??BDH?90?，
又?DQG??QDG?90?，∴?DQG??BDH．
∴△QDG≌△DBH，∴QG?DH?4，DG?BH?1．
4?，∴Q??1，3?． 由⑵知D?3，3120?，∴直线BP的解析式为y??x?． ∵B?4，552??y??x2?3x?4x??2?x1?4，???5 解方程组??312得?66y?0y??x??1??y?55?2?25??266?点P的坐标为??，?．
?525?
（2013年河南省中考数学试卷）如图，抛物线y??x2?bx?c与直线y?1x?2交于27??C,D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为?3，?．点P是y轴右侧的抛物线上
2??一动点，过点P作PE?x轴于点E，交CD于点F. ⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
⑶ 若存在点P，使?PCF?45?，请直接写出相应的点P的坐标．
yPDCF
BxAOE【解答】⑴ ∵直线y?1x?2经过点C， 22?． ∴C?0，7??∵抛物线y??x2?bx?c经过点C(0，2)，D?3，?，
2??7?2?c???b?2． ∴?7∴?2??3?3b?c???2?c?272∴抛物线的解析式为y??x?x?2
2⑵ ∵点P的横坐标为m且在抛物线上
71????2∴P?m，?m?m?2?，F?m，m?2?
22????∵PF∥CO，
∴当PF?CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．
7?1?22①当m＜3时，PF??m?m?2??m?2???m?3m
2?2?∴?m2?3m?2，
解得：m1?1，m2?2．
即当m?1或2时，四边形OCPF是平行四边形．
7?1???22②当m≥3时，PF??m?2????m?m?2??m?3m
2?2???m2?3m?2，
3?173?17解得：m1?，m2?（舍去）
223?17即当m1?时，四边形OCFP是平行四边形．
2⑶ 如图，当点P在CD上方且?PCF?45?时， 作PM?CD，CN?PF，则
yPDCFNM
BxAOE△PMF∽△CNF，
PMCNm???2 ∴MFFN1m2∴PM?CM?2CF
∴PF?5FM?5CF?5?555CN?CN?m 222又∵PF??m2?3m
52∴?m?3m?m
21解得：m1?，m2?0（舍去）
2?17?∴P?，?．
?22??2313?P?，?同理可以求得：另外一点为?618?．