二次函数与角度问题(2)

（3）解法一：如图2，作点A(1，0)关于y轴的对称点A?，则A?(?1，0)． 连结A?C，A?D， 可得A?C?AC?10，?OCA???OCA． 由勾股定理可得CD2?20，A?D2?10． 又A?C2?10， y 4 3 C 2 1 ?A?D2?A?C2?CD2． ?△A?DC是等腰直角三角形，?CA?D?90， ??DCA??45． A? A B -1 O 1 2 F 3 4 -1 D -2 x 图2 ??OCA???OCD?45． ??OCA??OCD?45． 即?OCA与?OCD两角和的度数为45． ·················································解法二：如图3，连结BD． 同解法一可得CD?20，AC?10． 在Rt△DBF中，?DFB?90，BF?DF?1， y 4 3 C 2 1 ?DB?DF?BF?2． 在△CBD和△COA中， 22-2 -1 O 1 2 F 3 4 -1 D -2 图3 A B x BC32CD20DB2??2，??2，??2． OC3AO1CA10?DBBCCD??． AOOCCA?△CBD∽△COA． ??BCD??OCA． ?OCB?45， ??OCA??OCD?45． 即?OCA与?OCD两角和的度数为45． （2013?十堰）已知抛物线y=x﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求D点的坐标； （2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数； （3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标． 2考二次函数综合题． 点： 分（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶析： 点D的坐标； （2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°； （3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式， 设Q（m，n），根据点Q在y=x﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标． 2解解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x﹣2x+c得：1+2+c=0 答： ∴c=﹣3 22∴y=x﹣2x﹣3=y=（x﹣1）﹣4 ∴顶点坐标为（1，﹣4）； （2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F， 2由x﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3 ∴B（3，0） 2当x=0时，y=x﹣2x﹣3=﹣3 ∴C（0，﹣3） ∴OB=OC=3 ∵∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°， BC=3 又∵DF=CF=1，∠CFD=90°， ∴∠FCD=45°，CD=， ∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°． 22∴∠BCD=∠COA 又∵ ∴△DCB∽△AOC， ∴∠CBD=∠OCA 又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB ∴∠E=∠OCB=45°， （3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点 ∵∠PMA=45°， ∴∠EMH=45°， ∴∠MHE=90°， ∴∠PHB=90°， ∴∠DBG+∠OPN=90° 又∴∠ONP+∠OPN=90°， ∴∠DBG=∠ONP 又∵∠DGB=∠PON=90°， ∴△DGB=∠PON=90°， ∴△DGB∽△PON ∴即：= ∴ON=2， ∴N（0，﹣2） 设直线PQ的解析式为y=kx+b 则 解得：∴y=﹣x﹣2 设Q（m，n）且n＜0， ∴n=﹣m﹣2 又∵Q（m，n）在y=x﹣2x﹣3上， 2∴n=m﹣2m﹣3 ∴﹣m﹣2=m﹣2m﹣3 解得：m=2或m=﹣ ∴n=﹣3或n=﹣ ∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣，﹣）． 2（2014?威海）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数． 22 考点： 分析： 二次函数综合题 （1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果； （2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标； （3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论． 解答： 解：（1）∵该抛物线过点C（0，2）， ∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2． 将A（﹣1，0），B（4，0）代入， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2． （2）存在． 由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形． [来源:学+科+网Z+X+X+K] 在Rt△BOC中，OC=2，OB=4， ∴BC==． h=×2×4， 在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×∴h=． ∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），