图7：剔除部分波动较大的数据之后的多元线性回归残差图
由图7可以明显发现预测值与真实值之间的偏差几乎都小于10 分，没有波动很大的成绩出现，说明该线性回归的精度在一定程度上满足要求。
由下表的数据，可看出学生总体的成绩是在不断提高的，成绩为优秀和良好的同学占得比例越来越大，同时不及格的同学正在逐渐减少，学生总体的学习状况良好。
再利用Excel对所预测的学生成绩进行数据分析与计算得到的表格如下： 第5学期 第6学期 平均分 77.195 78.389 最高分 87.957 87.944 最低分 29.673 36.781 中位数 77.621 78.845 总分 45158.868 45857.280 方差 41.513 32.166 标准差 6.443 5.672 从以上的数据分析来看，在不考虑极少部分成绩很不稳定的同学的前提下，该模型能够很好的预测学生的5，6学期的成绩，由此来说明其学习状况。
模型二：灰色预测模型
模型说明：灰色模型法由于具有所需数据少、计算量小的优点而得到了广泛的应用。部分信息已知、部分信息未知的系统称为灰色系统,灰色系统理论是企业界较实用的一种预测方法。灰色系统理论把一切随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程，将离散的原始数据整理成具有规律性的生成数列，然后再进行研究。对灰色过程建立的模型称为灰色模型，即GM。 GM(1,1)是最常用、最简单的一种灰色模型，它是由一个只包含单变量的微分方程构成的模型，是GM(1,N)的一个特例。
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2.模型建立：
设 i 个学生第j 学期的综合成绩为xi0,j，那么有原始数据可得数据列为：
xi0?(xi0,1,xi0,2,xi0,3??xi0,n)
对原始数据作一阶累加生成：xi1?(xi1,1,xi1,2,xi1,3??xi1,n)，其中
x??xi0,j,k?1,2,......n。
1i,kj?1k再作xi1的一阶均值生成，得xi?(xi(2),xi(3),??????,xi(n)) 其中xi(k)?111(xi,k?xi,k?1)，k?2,3,??????,n 2此时构成了灰色模块，由于xi1具有指数增长规律，而一阶微分方程的解正好是指数增长形式的解，由此可建立灰色模型GM（1，1）为：
dxi1?t?dt?axi1(t)?u
其中a,u 为待求系数。解此微分方程得：
1u??aku?0?x?x(1)? i,k?1?i?e?，k=1,2,3.....
a?a?式中的参数可由最小二乘法求得，即：
A?(a,u)T?(BTB)?1BTYN
?xi0(2)???xi(2)?1??0????x(3)?1??x(3)?其中：B??i ，YN??i ?????????????x(n)?10?x(n)???i?i??i0(k),k?0,1,??，则有： 设：ek?xi0(k)?x1n1n01n1n202e??e(k),x??xi(k),s1???xi(k)?x?,s2???e(k)?e?????。 nk?1nk?1nk?1nk?122令：公差比c=
s2，若同时满足：c<0.35,p?p?e(k)?e?0.6745s1??0.95,那么
??s1预测模型就满足一级精度。
由该模型我们对前100个学生后两个学期的成绩进行了预测，
3.模型应用：对于灰色模型我们用matlab编程的方式来求解，程序请参见附件。
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根据上述模型对第5，6 个学期进行预测并经过标准化成绩评价模型得到表9中的数据。
由下表，对于大部分成绩的可靠性能够接受，相对于前四个学期，成绩分布仍比较稳定，预测结果与前四个学期的误差基本上能保证在5分之内，有相当部分的预测数据精度相当高，误差只有零点几分。由此可知灰色预测在精度上比线性回归要好，对于学生成绩能进行更准确、更有效的预测。但是对于衡量灰色预测精确性的公差比c而言，我们预测的结果只有一部分能满足一级精度，可见灰色模型还有进一步改进的余地，以期达到更好的预测结果，我们将在模型的评价与改进中，探讨如何改进灰色预测模型。 学生序号 1 2 3 4 5 6 ?? 611 612 学期1 学期2 学期3 学期4 学期5 学期6 79.000000 74.281049 75.358386 76.451348 77.560162 78.685058 75.625000 75.579850 76.277383 76.981354 77.691821 78.408846 62.120312 60.848374 65.388666 70.267738 75.510870 81.145225 82.750000 81.388929 80.185869 79.000592 77.832836 76.682341 76.100000 81.237290 81.328803 81.420420 81.512139 81.603962 78.275000 67.814383 71.207238 74.769842 78.510689 82.438696 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 69.729000 75.712943 74.747091 73.793561 72.852194 71.922836 59.313000 73.906087 75.566764 77.264758 79.000905 80.776064
利用灰度预测法预测的5、6学期成绩
学生序号 1 2 3 4 5 6 ...... 611 612 学期一误差 0.000000 0.000000 -0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.000000 -0.000000 学期二误差 -0.543951 2.176278 1.634088 -1.814999 -1.878782 2.519741 -3.329339 -1.336407 学期三误差 1.068386 -4.313892 -3.113221 3.679265 3.753331 -4.832762 6.691394 2.665081 学期四误差 -0.528652 2.136354 1.402738 -1.869408 -1.874580 2.279842 -3.362749 -1.328843 预测结果与前四学期的误差表
结果的检验
我们根据现有数据在计算机通过专业软件进行模拟后，发现所得结果在有效误差范围，跟实际成绩预期基本上相同。验证了此模型的有效性。
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模型的评价和改进
层次分析法
优点：可以知道学校整体与个体之间的联系，从而寻求解决，更好的为整体布局服务，更好的促进学生进步。 缺点：此方法仍一定程度受主观因素的影响，比如在刚开始的各个中我们因素的各项指标权重是已经确定的再进行求解，这里就有一定的主观性。 改进：在对刚开始的因素的各项指标的权重赋值上，可以根据不同学校的标准进行设定，亦或是查阅相关的资料进行确定。 灰色关联分析法
优点：灰色关联分析法是一种多因素统计分析方法，对信息不精确、不完全确定的小样本系统有明显的分析优势。 缺点：使用灰色关联分析法进策评价行决时，往往忽略了各评价指标问的重要性差异，造成评价的不公平。
改进：采用模糊层次分析法来确定指标权重，既体现了指标的重要度，又减少了人的主观思维所带来的影响，使得评价的结果更公正、客观。
参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模(第三版) [M],北京：高等教育出版社，2003，224-229。
[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程，北京：高等教育出版社，2004.7
[3] 韩中庚，数学建模的方法及其应用[M] ,北京：高等教育出版社，2006。 [4]于广华，李信梅，考试成绩的描述统计分析及其评定[A]，1-2页，2000，No.7。 [5] 马引弟,黎延海,基于模糊层次分析法的高校课堂教学质量综合评价模型，1-3页，2009年第八卷第3期。 [6]翁洁静，标准分制度在成绩统计过程中的应用[A]，1-3页，（2009）04-0027-03。 [7] 郑月锋 ，邢春波 ，黄德才 ，朱 凌，修正成绩为正态分布的一种新算法[A]，1-3页，(2008)13—0142—03。 [8] 刘六生，冯用军, 大学普及率预测的G M(1，1)模型应用[A]，1-3页，(2009)03—0030—04。 [9] 戴宝印，谭家华, 改进灰色预测模型在我国船舶订单预测中的应用，3-4页，2009年第6期。 年第6期。
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付：matlab代码(灰度预测）
function gmcal=gm1(x) sizexd2 = size(x,2); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1
x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成
z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else
x1(k)=x(k); end end
%x1,z1,k,yn1 sizez1=size(z1,2); %size(yn1); z2 = z1';
z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3];
au0=inv(B'*B)*B'*YN; au = au0'; %B,au0,au
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afor = au(1); ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); ˉor,ufor,ua
%输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '('; rightbra = ')';
%constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra
strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,rightbra,'+',leftbra,num2str(ua),rightbra)
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