（2）解：Sn???n111exdx?(xn?xn?1)yn?ex|?yn?(e?n?e?n?1)?e?n
?(n?1)?(n?1)222?n
e?21?n. ??8分 ?2ee11[1?()n]e?2?111?e?2ee?e?2?(1?1). （3）证明：Tn???1?2???n???12e?ee2e2e(e?1)e?en1?e ??10分
n?1xTn?1en?1?1e?1?(n?1)1e ∴，n?1???n?1?1?n?1?1?. 1Tne?ee?exn?nn1?ne1?1 要证明
e?11Tn?1xn?1?，即只要证明en?1?(e?1)n?e。 11分 ?，只要证明n?1e?enTnxn
证法1：（数学归纳法）
① 当n?1时，显然(e?1)2?0?e2?2e?1?e2?(e?1)?e成立； ② 假设n?k时，ek?1?(e?1)k?e成立， 则当n?k?1时，ek?2?e?ek?1?e[(e?1)k?e]， 而e[(e?1)k?e]?[(e?1)(k?1)?e]?(e?1)2(k?1)?0. ∴e[(e?1)k?e]?(e?1)(k?1)?e.
∴ek?2?(e?1)(k?1)?e.
这说明，n?k?1时，不等式也成立. 由①②知不等式
Tn?1xn?1?对一切n?N*都成立. ??14分 Tnxn01n?1n?1证法2: en?1?[1?(e?1)]n?1?Cn ?1?Cn?1(e?1)???Cn?1(e?1)01 ?Cn)?1?(n?1)(e?1)?(e?1)n?e. ?1?Cn?1(e?1 ∴不等式
Tn?1xn?1?对一切n?N*都成立. ??14分 Tnxn证法3:令f?x??ex?1??e?1?x?e,
则f'?x??ex?1??e?1?,
当x?0时, f'?x??ex?1??e?1??e??e?1??1?0, ∴函数f?x?在?0,???上单调递增.
∴当x?0时, f?x??f?0??0.
∵n?N*,
∴f?n??0, 即en?1??e?1?n?e?0. ∴en?1??e?1?n?e.
∴不等式
高考资源网 Tn?1xn?1对一切n?N*都成立. ?Tnxnw w w.ks5u.com 高 考 资源 网