新力学习题答案（五）
5—1．如本题图所示为圆筒状锅炉的横截面，设气体压强为p，求壁内的正应力。已知锅炉直径为D，壁厚为d（D>>d），应力在壁内均匀分布。 `解：???df?ds?p
5—2．（1）矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为?，此材料的泊松比为?，求证体积的相对改变为：
V?V0V0??1?2???的体积。式中V0和V分别代表原来和形变后（2）式中是否适用于压缩？
（3）低碳钢的杨氏模量为Y=19.6*1010Pa,泊松比为0.3,受到的拉应力为?=1.37Pa,求杆体积的相对改变。
解：（1）证明：?ll0???????l??l0又??横?2(a)?dd0?横???d???d02V0?l0d0V??l0??l??d0??d???1???l0?1??????1???2???V0V?V0V0?2d02???1?2???(2)压缩时：l?l0??l??1???l0d?d0??d??1????d0V?ld?V0?ll02??1???l0??1????d0????1???2???V02V?V0???1?2???比值变为负值???所以上式仍适用，不过（3）??YV?V0V0?Y??Y??1?2?????1?2???Y??1?2?0.3?1.3719.6?1010?2.8?10?12
5—3．在剪切钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料发生了剪切形变。钢板的横截面积为S=90cm，二刀口间的距离为d=0.5cm，当剪切力为F=7*10N时，已知钢板的剪变模量为G=8*1010Pa，求：
（1）钢板中的剪切应力； （2）钢板的剪切应变；
（3）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。 解：（1）?//?F//S?7?1090?105?425
?79?10Pa887(2)?//?G?(3)???d????//G?7?29??1010728?107?10?2?10d721445—4．矩形横截面边长2:3的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。对于截面的两个不同取向，同
??d??d??0.5?7?10?2cm样的力偶矩产生的曲率半径之比为多少？
解：依据梁弯曲的曲率R?设边长分别为一种取向：则：R1?Ybh12M3半径公式，有：外2a与3ab?2a3h?3a?52Ya12M4Y2a?3a?12M外(1)外另一种取向：则：R2??b?3a3h?2a24Ya12M944Y3a?2a?12MR1R2?外?(2)外5424?5—5．试推导钢管扭转常量D的表达式。
解：钢管中间是空的。设钢管长度为当钢管有一个偎依为r?l，管内外半径分别为R1与R2。R1?r?R2,在半径r处任一点产生的lr??角的扭转角时，对于?剪变角为??r??Gr?l剪切应力?//?G??r??在r?r?dr的面积ds?2?rdr?dr内剪切力为df??//ds?2?G?rdrl2
此力对主轴的力矩为?M??D?dM?rdf?2?G?rdrl?3?dM??G2l?R22?G?rdrl43?G?2lR1?R42?R14??D??R42?R1?
5—6．一铝管直径为4cm,壁厚1mm,长10m,一端固定，另一端作用一力矩50N.m，求铝管的扭转角?。对同样尺寸的钢管再计算一遍。已知铝的剪变模量G=2.65*10Pa，钢的剪变模量为8.0*1010Pa.。
解：依5—5题有：??M10
?G?2l?R42?R14?代入数据即可（略）5—7．用流体静力学基本原理，论证液面上有大气、物体全部浸在液体中的情况下的阿基米德原理。
h1解：取物体内面积为ds(设其在水平方向的投影为ds*)的小柱体，小柱体的上则：这部分小柱体受到下地面距离水面分别为的浮力为：h1与h2df浮?P下底ds*?P上底ds*??P0??gh2?ds*??P0??gh1?ds*??g?h2?h1?ds*??gdV(dV是小柱体的体积）?f浮?h2?df浮???gdV??gV物5—8．灭火筒每分钟喷出60m3的水，假定喷口处水柱的截面积为1.5cm2，问水柱喷到2m高时其截面积有多大？
解：设喷口处为1处，水柱喷到2m处为2处 依伯努力方程有：
P1?1212?v1?P2??gh?2?v22(1)P1?P2?P0QV?v1s1?v2s2?有以上三式得6060(2)?1m1s1?49?43/s1(3)?23?10m/s4:v1?21.5?10?1028?4v2?s2?v1?2gh?1v2?4.7?10?2?10?2?2.11?10m/s23m?4.7cm
5—9．一截面为5.0cm2的均匀虹吸管从容积很大的容器中把水吸出。虹吸管最高点高于水面1.0m，出口在水下0.6m处，求水在虹吸管内作定常流动时管内最高点的压强和虹吸管的体积流量。
解：设水面为1处，最高点为2处，出口处为3处,以1处为基准依伯努力方程有：P1?12?v1?P2??gh2?212?v2?P3??gh3?212?v32其中：P1?P3?P0定常流动：v2?v3?vh2?1.0m所以，由上式v1可看作0，忽略不计h3??0.6mP2??gh2?12212?v2?P3??gh3?12212?v3可变为：2P2??gh2??v?P0??gh3??v2?最高点的压强为：P2?P0??g?h3?h2??1.01?10由P1?v3?1225?10?10??0.6?1.0??8.5?10Pa34?v1?P3??gh3?12?v3得：2?2gh3?2?10?0.6?23m/s?4?QV?v3s3?23?5.0?10?1.73?10m/s33
5—10．油箱内盛有水和石油，石油的密度为0.9g/cm2，水的厚度为1m，油的厚度为4m。求水自箱底小孔流出的速度。 解：设油与大气的接触则：P1?P3?P0v1?v2?0以小孔处为高度依伯努力方程有：P2??水gh水?P3??v3?2?P2?P3?120点面为1处，油与水的接触面为P2?P1??油gh油v3为要求的速度2处，小孔为3处?水v32?水?2?油gh油?2gh水?2?P0??油gh油?P0??水2*900*10*41000?2gh水?水?2gh水??2*10*1?92?9.6m/s
5—11．一截面为A的柱形桶内盛水的高1度为H，底部有一小孔，水从这里流出。设水柱的最小截面积为S，求容器内只剩下一半水和水全部流完所需的时间t1和t2。 解：由于随着水的高度时间内流出的水h的变化，从桶底流出的水的速度不同，所以在求解。dtdQV?vsdt?AVdt?Adh也不同，故用积分形式度为h，dt时间内水面下降12dh12设在t时刻，水面距桶底的高依伯努力方程有：P0??gh??V2?P0?vsA?v2又：VA?vs?上式变为：1?V?21?vs?2?gh??????v2?A?2A222?v?A?s2ghA222又依连续性方程有:Adh?vsdt?dh2ghA?s22A?s2ghsdt(1)上式变形得：?sdt若只剩一半水，H/2h从H?t1H2（,1）式两边积分：1s2A?sg?dh2ghA?s22H???0sdt?t1??22?(H?H2)若全部流完，则h从H?0（,1）式两边积分：???2t2?0dh2ghA?s2H0sdt?t2?1s2A?sg?22?H
5—12．在一20cm*30cm的矩形截面容器内盛有深度为50cm的水。如果从容器底部面积为2.0cm2的小孔流出，求水流出一半时所需的时间。 解：由5—11的答案得：A?0.2?0.3?0.06mt?1s2A?sg2?22?(H?H2)?12.0?10?4?0.062?2.0?10102?8??0.5?0.25??0.19s