5—13．如图5—35a所示，在一高度为H的量筒侧壁上开一系列高度h不同的小孔。试证明：当h=H/2时水的射程最大。
解：设A为量筒截面面积，s为小孔面积 V为液面水的速度，依伯努力方程有：P0??gH?12v为高度h处从小孔流出的水的速度?V2?P0??gh?12?v2又依连续性原理有：?v?VA?vsA2222g?H?h?A?s设水到达地面时所需的t?射程:x?vt?2gh时间为t,则：y?h?12gt22g?H?h?1A?sH22A222A?s2gh?2gA21A?s22h(H?h)?2gA?当h?H?H???h???2?4?时,射程x最大25—14．推导文丘里流量计的流量公式。
解：文丘里流量公式是在水平流管满足P1?：12?v1?P2?2?P212?v22(即h1?h2)的前提下，有QV?v1s1?s1s2??s1?s222?1122?2?P1??v1?P2??v2?s1?12证明：?v1?1?2??P2?P122????2s2???v1s1?v2s2??v1?2?P2?P1?s2222?s2?s1?s22?P2?P1?1s2?s122??2?P1s2?s122??QV?v1s1?s1s22?P??s1?s222?
5—15．在盛水圆筒侧壁上有高低两个小孔，它们分别在水面之下25cm和50cm处。自它们设出的两股水流在哪里相交？ 解：为简单起见，设圆设在水面下h处的速度为筒截面远大于小孔截面v12依伯努力方程有：P0??gh?P0?x“射高”为,?t?2yg?v2?v?2gh经时间t后水的射程为y?12gt2y,则：?x?vt?2hyh1?0.25m相遇时有:?h1y1?h2y2由(1)(2)得：y1?0.5mh2?0.5mx1?x2即y1?2y2(2)y2?0.25m(1)又：y1?y2?h2?h1??0.25?x1?x2?20.25?0.5?0.71m5—16．如本题图，A是一个很宽阔的容器，B是一根较细的管子，C是压力计。 （1）若拔去B管下的木塞，压力计的水位将处在什么地方？
（2）若B管是向下渐细的，答案有何改变？
解：（1）分析B、C交接处，根据水平管的管内等高处有：sC?sB（2）PB?12特点：?vB?PC?212?vC2?vB?vC?PB?PC所以压力计的水位将处于A的水位之下。
5—17．一桶的低部有一洞，水面距桶底30cm，当桶以120m/s的加速度上升时，水自洞漏出的速度为多少？
解：以桶为参考系，由所以，这里的伯努力方小洞流出的水不仅受重程中的g?g?a12力作用，还受惯性力作用。2
?P0???g?a?h?P0??v?2?g?a?h??v22??10?120??0.3?78?8.8m/s又刚开始时v桶?0,所以v?8.8m/s就是所求。5—18．如本题图，方新形截面容器侧壁有一小孔，其下缘的高度为h。将孔封住时，容器内液面高度达到H，此容器具有怎样的水平加速度a，即使将孔打开，液体也不会从孔中流出？此时液面是怎样的？ 解：先求容器无水平加受到容器内液体的作用依伯努力方程知小孔处v?2g?H?h?速度a时小孔处的液体力F:液体的速度v为：Hhl?F?Qm?v?0???vsv??s2g?H?h?(向右）要使水不流出，必需有?a?Fm?a的方向水平向右此时的液面:在液面上取dm的液体，以容器为参考以及支持力的作用，三dydx?admgdm?2g?H?h?gx(直线）系：?一个向左的力ma?Fy?s2g?H?h?Qm?2?s2g?H?h??svx2g?H?h?m/s该液体受重力、惯性力切线的斜率:tan??力平衡，所以有：?y?x0?2?H?h?g即液面是斜面的形状。5—19．使机车能在行进时装水，使用的装置如本题图所示，顺着铁轨装一长水槽，以曲管
引至机车上。曲管之另一端浸入水槽中，且其开端朝向运动的前方。试计算，火车的速度多大，才能使水升高5.1m？
解：由题意知：流入曲管的水的速度（也是相对水槽的速度）就是火车的速度。 依伯努力方程有：
PA?12?v?PB??gh?2???v???2gh?2?9.8?5.1?10.0m/sPA?PB?P0
5—20．试作下击式水轮机最大功率和转速的计算。如本题图所示，设水源高h=5m，水流截面积s=0.06m，轮的半径R=2.5cm；还不假定水连续不断地打在浆叶上，打击后水以浆液的速度流去。
解：依伯努力方程有：Qm??vs??s2gh水与浆叶相撞，角动量守恒：QmvR?I??Qmv'?I??Qm?R又：I?（浆质量集中与中心上0由此看来，无能量损失???n?vR??2ghR22
水从截面出来时的速度为v?2gh）n与功率P为最大值。2，所以求出的转速?2?10?50.025?4?10弧/秒?2?4?1012?3.14?63.7r/s2无能量损失:P?2?12?mv?t3?12Qmv2?12?s?2gh?3/2?10?0.06??2?10?5?3/2?3.0?10J4
20
5—21．在一截面积为50cm的水管上接有一端弯管，使管轴偏转75。设管中水的流速为3.0m/s。计算水流作用在弯管上力的大小和方向。
? v1?3.0m/s
075解：水流作用在弯管上的力等于单位时间内?v2?3.0m/s水流的动量的减少量，即：?????F?Qm?v1?v2???vs?v1?v2?如图：力的大小：F??vs2vsin75/2?10?2?0.005??3.0??032?力的方向：与水平夹角为?，tan??
5—22．在重力作用下，某液体在半径为R的竖直圆管中向下作定常层流，已知液体的密度为?，测得从管中流出的体积流量为Q，求 （1）液体的粘滞系数?； （2）管轴处的流速?。
解：该圆管是竖直放置的。可参照泊萧叶公式的推导过程求解。 在圆管内取l?ab长的一端，取r?r?dr的小圆管，以流速方向为正向，则有：??dv?f?????2?rl?rdr??r???dv??f??2??r?dr?l???r?dr?dr?r?dr??f?fr?fr?dr?2??l此力应与端面d??dv??????r??drdr??dr??的重力平衡：d??dv??????r??drdr??dr???r22?rdr上的压力差及该小圆管?Pb?Pa?2?rdr?l2?rdrg?f?2??lv?r??Pa?Pb??gl4?lv?r?rdr?8经两次积分得：?R2?R4QV??vds?2??R?Pa?Pb??gl?l0低速情况下：Pa?Pb??gh??gl?Q?QV?(1)?????g4?R4R4??g4Q(2)管轴处的速度（r?0处）：v?r?0???g2??R2?02???gR4Q2???gR42?2Q?R25—23．粘滞流体在一对无限大平行平面板之间流动。试推导其横截面上的速度分布公式。 解：如图所示，以中心轴为x轴，建立如图所示的 坐标系，在y+dy之间取一面积为?s,宽为dy 的流体。 设v沿正x 方向，分析其受力：
y?dyyOyx