由三视图可得该几何体为一个三棱柱，底面是正视图中的直角三角形，高为2cm，则该几何体的表面积是2×2×2×4+2 2+4+2 5 =20+4 5cm2,体积是2×2×4×2=8cm3.
故答案为20+4 5，8.
??=，13．tan??=，??，??所对的边分别是??，??，??，在????????中，内角??，若??=2 3，则34sin??=，??=. 【答案】5，4+ 3 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理.
由tan??=cos??=4,得??<2，又sin2??+cos2??=1,∴sin??=5，cos??=5， ∴sin??=sin ??+?? =sin??cos??+cos??sin??=×+×
5
2
5
3
1
4
32
sin??
3
π
3
4
3
??
3
1
1
=
3+4 310
, 由正弦定理sin??=sin??，得??=故答案为5，4+ 3.
3
??????sin??sin??
= 2 3×
3+4 310
×=4+ 3. 3
5
14．已知等差数列{????}的公差为??，等比数列{????}的公比为??，设{????}，{????}的前??项和分
别为????，????，若??2(????+1)=2??????，??∈???，则??=，??=. 【答案】2,2
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前??项和，考查恒成立问题. 由??????+1 =2????，得
??=2
??1???12
??
????+1????
=??2，即
2??
??1??????1?+1???1???1??2??2??+ ??1? 22=??2，
2??
∴
=1
??
??1?2=0 ??
2=1
,解得??=2，??=2.
故答案为2,2.
15．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只
能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是(用数字作答).
【答案】10
【解析】本题主要考查排列组合问题.
对集装箱编号，左边三个从上到下依次为1，2，3，右边两个从上到下依次为4，5，则排列的相对顺序为1，2，3与4，5，故不同取法的种数为A3A2=10.
32
A55
故答案为10.
16．已知直线??：??=????(??>0)，圆??1：(???1)2+??2=1与??2：(???3)2+??2=1，若
直线??被圆??1，??2所截得两弦的长度之比是3，则实数??=. 【答案】3
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 由题意得， 1?故答案为3.
17．已知函数??(??)=??2+????+??(??,??∈??)在区间(0,1)内有两个零点，则3??+??的取值
1
??2??2+1
1
=3 1?
9??2??2+1
,解得??=3. 1
范围是. 【答案】(?5,0)
【解析】本题主要考查函数零点的分布及二次函数的图像和性质.
?? 0 =??>0
?? 1 =1+??+??>0
??,若函数?? ?? =??2+????+??在区间 0,1 内有两个零点，只需0
2??????2
??=?+??<0 ? 222解得?5<3??+??<0. 故答案为(?5,0).
三、解答题：共5题
18．已知函数??(??)=sin??sin(??+).
6
??
(1)求??(??)的最小正周期；
(2)当??∈[0,2]时，求??(??)的取值范围.
311??3【答案】(1)由题意得??(??)= sin2??+sin??cos??=sin(2???)+ ，
2
2
2
3
4
??
所以函数??(??)的最小正周期??=??.
(2)由0≤??≤2知，? 3≤sin(2?????)≤1，
2
3
??
所以函数??(??)的取值范围为[0,+ ].
24
【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、倍角公式，考查正弦函数的性质. (1)利用两角和与差的正弦公式及倍角公式化简解析式，再由正弦函数的周期公式可得结论；
(2)利用的正弦函数的单调性和值域，可得结论.
19．??是????的如图，已知四棱柱???????????1??1??1??1的底面是菱形，侧棱????1⊥底面????????，
13中点，∠??????=120°，????1=????.
(1)证明：????1//平面??1????1；
(2)求直线????1与平面??1????1所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明：连接??1??1交??1??1于点??，连接????，????. 因为????????为菱形，所以点??在????上，
且????1//????，又????1=????，故四边形????1????是平行四边形， 则????1//????，因此????1//平面????1??1. (2)由于??1??1??1??1为菱形，所以??1??1⊥??1??1，
又???????????1??1??1??1是直四棱柱，有??1??1⊥????1，则??1??1⊥平面????1??1??， 因此平面????1??1??⊥平面????1??.
过点??作平面????1??1??和平面????1??1交线????的垂线，垂足为??，得????⊥平面????1??1， 连接????1，则∠????1??是直线????1与平面????1??1所成的角，
设????1=1，因为????????是菱形且∠??????=120°，则????=2，????= ，
2
5在????????????1中，由????=2，????1=1，得????1= ，
2
321在????????????中，由????= ，????=1，得????= ，
2
7
????????1
2 105351
1
3所以sin∠????1??=
=. 【解析】本题主要考查线面平行的判定、面面垂直的判定及性质，考查线面角的求法. (1)连接??1??1交??1??1于点??，连接????，????.证明????1????是平行四边形，得线线平行，再由线面平行的判定可得结论；
(1)作出平面的垂线，即可找到线面角，求出相关线段的长度可得结论.
20．设函数??(??)=??2+1
1 1+??，??∈[0,1].
证明：(1)??(??)≥??2?2??+1； (2)15
【答案】(1)记??(??)=??(??)???2?1+2= 1+???1+2，
′
则?? ?? =?2 1+?? 3+2，??∈(0,1)，
11
??
1??
那么，??(??)在区间[0,1]上单调递增，
又??(0)=0，所以??(??)=??(??)???2?1+2≥0， 从而??(??)≥??2?2+1. (2)??′(??)=2???2 (1+??)3，
12记??(??)=2???2 (1+??)3，由??(0)=?2<0，??(1)=2? >0，
8
11??
??
知存在??0∈(0,1)，使得??(??0)=0.
因为??(??)在[0,1]上是增函数，所以，??(??)在区间(0,??0)上是单调递减，在区间(??0,1)上单调递增，又??(0)=1，??(1)=
1
2+ 2，从而??(??)2
??
≤
2+ 2. 2
1
15
15
1
15
另一方面，由(1)得当??≠4时，??(??)≥??2?2+1=(???4)2+16>16，且??(4)>16， 因此，
15
2+ 2. 2
【解析】本题主要考查导数在研究函数单调性、最值及证明不等式中的综合应用. (1)作差，构造函数??(??)=??(??)???2?1，利用导数研究函数??(??)的单调性和最值，可得结论；
(2)求导，构造函数?? ?? =??′ ?? ，利用导数讨论函数?? ?? 的单调性和最值，从而得到??(??)的单调性和最值，命题得证.
21．如图，已知椭圆
??22
??，右顶点分别是??，设点??( 2,??)(??>0)，连接????交+??2=1的左、
椭圆于点??，坐标原点是??.
(1)证明：????⊥????；
(2)若四边形????????的面积是3 2，求??的值.
5
??2
??【答案】(1)设直线????的方程为??=2 2(??+ 2)，由 整理得(4+??2)??2+2 2??2??+2??2?8=0， 解得??1=? 2，??2=
4 2? 2??2
4+??2
2
+??2=1,
?? ??=2
(??+ 2),2，则点??的坐标是(
4 2? 2??2
4+??2
,
4??4+??2
)，
2故直线????的斜率??????=? . ??
由于直线????的斜率??????= 2，故?????????????=?1，所以????⊥????. (2)由??四边形????????=得
2??3+2 2??4+??23 25
??，??四边形????????=
2??3+2 2??， 4+??2
=
3 25
，整理得(???1)(5??2+2??+12)=0，
因为5??2+2??+12≠0，所以??=1.