山西师范大学本科毕业论文
留数在积分计算中的应用
姓 名 学 院 专 业 班 级 学 号 指导教师 答辩日期 成 绩
杨瑛
数学与计算机科学学院
数学与应用数学
12级双学位
1154050131
籍慧洁
留数在积分计算中的应用
内容摘要
积分计算不但是高等数学中的一大主要内容，还是其他学科在处理实际生活问题时需要解决的一大问题。有的被积函数往往很难求出原函数，这时我们需要用到新的计算积分的方法——留数。留数是积分计算的又一重要工具，一般的积分计算我们可以采用牛顿—莱布尼茨公式、柯西积分定理、高阶求导公式、换元法等方法，而相对复杂的积分计算则需要采用新的运算方法，而留数及留数理论就起到至关重要的作用。本文首先，系统的归纳总结了留数在有限奇点及无穷远点处的定义，留数定理及相关理论以及留数的计算方法；其次具体的介绍了留数定理在定积分计算中的应用，主要包括三角函数有理式积分计算、有理函数积分计算、有理函数乘三角函数积分计算、两类特殊的广义积分计算以及利用泊松积分 ?e?xdx?0??2?2作辅助函数计算弗莱聂耳积分?cosx2dx及
0?????0sinx2dx；最后对本文进行了小结.
本文对留数理论的应用进行了分析总结，旨在为解决复杂积分问题提供理论依据，同时也为解决生活实际中的积分问题提供理论方法.
【关键词】留数 留数定理 复积分 实积分 极点 零点 广义积分
Application of Residue in Regulation Caculating
Abstract
Integral computation is not only the main contents in higher mathematics, or other subjects in dealing with real life need to solve a major problem. Some integrand is often difficult to find out the function, at this moment, we need to use new method for calculating integral residue.Residue is the important tool of integral calculation, the general integral calculation we can use Newton, leibniz formula,Cauchy integral
theorem, higher-order derivative formula, change element method and other methods but relatively complex integral calculation requires new methods of operation, so the residue and residue theory will play a crucial role. Summarized in this paper, first of all, the system residue in limited singularity at infinity and place, the definition of residue theorem and the related theory and the method for calculating the residue; Second specific residue theorem is introduced in the application of the definite integral calculation, mainly including trigonometric function rational expression of integral calculation, rational function integral calculation, rational function by trigonometric function integral calculation, the generalized integral calculation of two kinds of special and Poisson integral is used as the auxiliary function calculation the Frensnel integral; Finally, this article has carried on the summary.
In this paper, the application of residue theory are analyzed and summarized, aimed to provide theoretical basis for solving the problem of complex integral, as well as provide theoretical method to solve the integral problem in actual life.
【Key Words】 Residue The residue theorem Complex function integral Real integral The pole Zero Generalized integral
目 录
一、引言 ............................................................... 1 二、留数的定义及相关定理 ......................................... 1
（一）定义 ............................................................... 1 （二）主要定理及证明 ..................................................... 1
三、留数的求法及应用 ............................................... 4
（一）留数的求法 ......................................................... 4 （二）应用留数求复积分 ................................................... 6
四、应用留数计算定积分 ............................................ 8
（一）三角函数有理式积分 ................................................. 8 （二）有理函数积分 ....................................................... 9 （三）三角函数乘有理函数积分 ............................................ 12 （四）两类特殊路径上的广义积分 .......................................... 15 （五）利用函数ecz计算积分 ............................................... 19
2五、小结 .............................................................. 21 参考文献 .............................................................. 22 致谢 ................................................................... 23
留数在积分计算中的应用
学生姓名：杨瑛 指导老师：籍慧洁
一、引言
积分计算不仅是高等数学的重要内容，也是其他学科在处理实际问题时需要解决的重要问题。对于一些简单的实积分可以用牛顿—莱布尼兹公式计算，但对于一些复杂的实积分牛顿—莱布尼兹公式并不适用。这时就需要新的方法来解决复杂实积分问题，而复变函数为我们提供了一个重要的理论来解决这一问题，即留数定理。
留数及留数相关理论在复变函数中占有重要地位，它在积分计算、辐角原理、拉普拉斯变换等问题中起到重要作用。留数在积分计算中的基本思路：首先，选择一个恰当的辅助函数和一条相应的积分路径，将实积分的计算转化为沿闭合回路曲线复积分的计算；接着，将问题转化为求闭合回路曲线内部每个孤立奇点的留数值；最后，利用柯西留数定理得到所求积分的解。本文主要对留数及其相关定理进行了系统的归纳和总结，旨在进一步认识到这一重要理论在积分计算中的应用。
二、留数的定义及相关定理
（一）定义
定义1 设a是函数f(z)的有限孤立奇点，即函数f(z)在点a的某去心领域
0?|z?a|?R内解析，则称f(z)在点a处的留数为积分
1f?z?dz??:z?a??,0???R?， 2?i??记为Resf?z?.
z?a 定义2 设?为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N????:0?r?z???内解析，则称
1??为在点的留数，记为.（注：fzdz,?:z???r??Resfzf(z)?????z??2?i??是指顺时针方向，可看作是绕无穷远点的正向）。
（二）主要定理及证明 定理2.1路径无关.
证 假设导函数f??z?是连续的.
【1】
（柯西定理）设函数f?z?在封闭的单连通区域内解析，那么?f?z?dz与
C 1