eiz lim?dz?0，
R???z?R又因为Q?z??z在实轴上仅有一个零点，且为f?z?的一阶极点，所以 Resf?z??e0?1，
z?o故由引理3可得
eiz lim?dz??iResf?z???i，
r?0z?0z?r由推论3可得 ?所以积分
???ix??esinx1?dx?Im?dx?
??xx22ix??ecosxdx?Re?dx?0.
??xx????eixdx?2?i?0??i?1??i， x0 ?????2、沿支割线的广义积分
在计算广义积分时有时会遇到多值函数，那么我们就必须选取恰当的支割线割开平面使其能分出单值解析分支，此时就可以应用柯西积分定理以及留数定理进行广义积分计算.
定理4.3 有理分式函数R?x??P?x?，同时P?x?,Q?x?为互质多项式，且分母的次数Q?x?比分子高，Q?x?在实轴R??0,???上没有零点，令f?x??R(x)xp?1（0?p?1），zk是f?z?所有除整实数外的有限极点，则 ?R?x?xp?1dx?0??2?i?Resf?z?kz?zk1?e2?p?1??i.
例13 计算积分I????0x???lnxdx?1???3,x?e. 2x?1??z? 解：令函数f?z??2，显然z??i是函数f?z?的两个一阶极点，那么
z?1ie? Resf?z???z?i2i2i??????ln1?i?2?e2i ， ?2i?? 17
(?i)e Resf?z???z??i?2i?2i有定理4.3可得
???????ln1?i?2?e2i， ??2i??? ???02?2?dx???i???i?2??ie?ex?11?e2i2??x?2?i?sin??e??isin???e??isin??2 .
sin?? 例14 计算积分I??lnx0?1?x?22dx.
解：如图4.3所示在Ox轴上画两个半圆周，分别以r,R为半径，r可以充分小，R可
以充分大，这两个半圆与轴上的AB和B?A?构成周线?. M
?i ? N
B? A? O A B x 图4.3
构建辅助函数 f?z??lnz?1?z?22
在?内只有一个二阶极点z?i，支点z?0,z??不在周线?的内部.，所以函数f?z?在有界闭域?，除z?i外，是单值解析的.令 ??z???z?i?2lnz，
?z?i?2?z?i?2112则 ???z????lnz，
z?z?i?2?z?i?3根据推论1得
Resf?z?????i??z?i??2i8，
有定理2.2可得
BMB???B?A???A?NA??AB???C2lnz?1?z?22dz （4-11）
?2?i?
??2i8???2??4i18
因为limzz???lnz?1?z?22?0，由引理1可得
lnz
BMB???1?z?22?0，
又因为limzz?0lnz?1?z?22?0，由引理3可
lnz
A?NA??1?z?lnz22?0.
令AB上的z?x?ei?0?x?0?，那么 limr?0R???AB??1?z?2dz??2??lnx0?1?x?22dx.
令A?B?上的z?x?ei???x?0?，于是
lnz?lnx?i?,dz?ei?dx??dx. 所以
r?0R???B?A?lim?lnz
?1?z?222dz??20lnx?i????1?x?22(?dx)
????lnx?i?0?1?x?dx故，当R???,r?0时，式（4-11）可以变为 ???lnx0?1?x?22dx????lnx?i?0?1?x?2dx??2?2??4i，
左右两端进行比较可得 2?所以积分
I??（五）利用函数ecz2??lnx20?1?x???dx=-2?， 2lnx20?1?x?dx??2?4.
（c为复常数）计算积分
例15 计算弗莱聂耳（Frensnel）积分
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???0cosxdx及?sinx2dx，
022??同时已知泊松积分 ?e?xdx????. （4-12）
02 解：作辅助函数
f?z??e?z2，
积分路径如图4.4所示
?r ?4 O
r x图4.4 ?e?z2dz??r?x2?z2o??x2?e2i0edx??edz??ree4idx?0， Lr?r
其中 ?z2?dz?2cos2??sin??r?2??i?d????e?40eire?4e?r2cos2?0rd?， r令2???2??，则式（4-14）可变为
r?2?r2sin?2?0ed?， 根据若尔当引理可得
r??2? 2?r2sin?2?0ed??r2?r2?2?0e?d? ??r?2r2?????2??2r2e??02
???1?e?r24r?， 所以当r???时
20
（4-13）
（4-14）
?r?ze?dz?0 ，
2因此式（4-13）可变为
1?i??22(cosx?isinx)dx?02 ??e?xdx0??2
?所以 ?0???2(cosx2?isinx2)dx?2??1?i?， 4比较左右两端实部与虚部，可以得 ?cosx2dx??sinx2dx?00????2?. 4
五、小结
积分在实际生活中应用广泛，因此如何高效准确的求解积分就显得尤为重要，本文主要探讨其中一种计算积分的方法——留数法。而留数理论又是复变函数论中重要的理论之一，利用该理论不仅可以解决复积分的计算问题，还可以解决实分析中难以解决的实积分计算问题。解题思路清晰，解题过程简便易理解促进了实际问题中积分计算的高效求解。在应用留数理论计算复杂实积分时首先取被积函数F?x?；其次选择积分路线?；再次在?所围成的区域上应用留数定理，求出F?x?在奇点处的留数；最后取极限，并且估计?不在实轴上部分的积分极限.除留数方法外，计算积分的方法还有很多种，常用的有积分公式法，牛顿-莱布尼茨公式法，参数方程法，柯西积分公式法等。在以后的研究探讨中我们要勇于创新，发现新的计算积分的方法，以便于更简便高效的解决实际生活中的复杂积分问题。
参考文献：
[1]钟玉泉.复变函数论[M].高等教育出版社，2003.
[2]欧阳露莎，刘敏思，刘寅.留数理论在积分计算中的应用[J].中南民族大学学报：自然科学版，2008,27（1）：108-110.
[3]李小飞.留数定理在一类定积分中的计算[J].黄冈师范学院学报：2011,31（6）：34-35.
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