设函数f?z??u?x,y??iv?x,y?，由导函数f??z?连续可得偏导数
?u?u?v?v,,,连续.且已知， ?x?y?x?y ?f?z?dz???udx?vdy??i??udy?vdx?
CCC由函数解析性可知，
?u?v?v?u??,? ，所以上式右端积分与路径无关，因此左?y?x?y?x端?f?z?dz也与路径无关.
C 定理2.2 设函数f?z?在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线， 则 ?f?z?dz?0.
C 定理2.3 设函数f?z?在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一闭曲线（不必是简单的），则
C?f?z?dz?0.
定理2.2? 设C是一条周线，D为C的内部，函数f?z?在闭域D?D?C上解析，则
C?f?z?dz?0.
定理2.4 设C是一条周线，D为C的内部，函数f?z?在D内解析，在D?D?C上连续（也可以说“连续到C”），则
C?f?z?dz?0.
高阶求导公式 设区域D的边界是周线（或复周线）C，函数f?z?在D内解析，在
D?D?C上连续，函数f?z?在区域D内有各阶导数，并且有 f?n??z?=
n!2?iC????z?f???n?1d? (z?D)，?n?1,2,3...? （2-1）
这是一个用解析函数f?z?的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式. 公式（2-1）可改写成 ?Cf??????z?d?=n?12?i?n?f?z? (z?D)，（2-2） (n?1,2,3...) n! 2
注 利用（2-2）式可以求某些周线的积分；在（2-1）及（2-2）中，??z是被积函数F???在C内部的唯一奇点，如果F???在C内部有两个以上的奇点，就不能直接应用它们来计算. 定理2.5
【1】
（柯西留数定理） 设函数f?z?在闭区域D内除有限个孤立奇点
zk?k?1,2,???,n?之外处处单值解析，那么
?f?z?dz?2?i?Resf?z? （2-3）
?k?1z?zkn其中?是闭区域D内包围有限个奇点的简单闭曲线.
证 把函数f(z)的每一个孤立奇点zk?k?1,2,???,n?用互不相交的充分小的闭曲线ck包围起来.在以?与ck?k?1,2,???,n?为边界的多连通区域内，函数f(z)是解析的， 由柯西定理得，
?f?z?dz??C1?f?z?dz??????f?z?dz
Cn 上式除以2?i得,
111fzdz?fzdz?????f?z?dz ??????2?i?2?i2?i?C1Cnz?z1z?zn =Resf?z??????Resf?z? 因此，?f?z?dz?2?i?Resf?z?成立,
?k?1z?zkn即 ?f?z?dz?2?i?Resf?z?.
Ck?1z?akn 定理2.6 如果函数f?z?在扩充复平面z上除去点a1,a2,???,an,?外处处解析的，则
f?z?在所有各孤立奇点的留数之和为零。
证 作充分大的圆周?，以原点为圆心，R为半径，且?的内部包含a1,a2,???,an，由留数定理得，
?f?z?dz?2?i?Resf?z? ，
?k?1z?akn两边同时除以2?i得，
3
?Resf?z??k?1z?aknn1??f?z?dz?0， 2?i?即 ?Resf?z??Resf?z??0 . （2-4）
k?1z?akz??三、留数的求法及应用
（一）留数的求法
为了能更好的的应用留数理论计算积分，首先应该掌握留数的计算方法。根据留数定义可知，要想求出函数在其孤立奇点a0处的留数，只须求其洛朗展式中的
1这一z?a0项的系数c?1。若 a0为f?z?的可去奇点，则其留数为零；若为本质奇点，则只能用洛朗展式来求c?1；而本文主要讨论a0是极点的情形。 定理3.1 设a0为f?z?的m阶极点， f?z????z??z?a0?m，
其中??z?在点a0处解析，??a0??0，则 Resf?z??z?a0?(m?1)?a0??m?1?!1. （3-1）
注 这里符号??0??a0?代表??a0?，????a0?代表???a0?，且有??m?1??a0??lim??m?1??z?.
x?a0 推论1 设a0为f?z?的1阶极点，??z??(z?a0)f?z?，
则 Resf?z????a0? . （3-2）
z?a0 推论2 设a0为f?z?的2阶极点，??z???z?a0?f?z?，
则 Resf?z?????a0? . （3-3）
z?a02??z? 定理3.2 设a1为f?z??的1阶极点，若??z?及??z?在点a1解析，且
??z?.则 ??a1??0,??a1??0,???a1??0 4
Resf?z??z?a??a1?. （3-4）
???a1? 证 因为a1为f?z????z?的1阶极点，所以 ??z?
z?a1??z???z? Resf?z??lim?z?a1??xlimx?a??z??a??z????a?z?a1111??a1? =.
???a1?要注意：函数在其有限可去奇点a0处留数必为零，但如果可去奇点为?，则其留数
1可以不为零.例如f?z???1，它在无穷远处是可去奇点，因为z趋于无穷时，极限是1，所以
z?点处的留数Resf?z???1.因此，引入留数的另一计算方法.
z??令 于是 u?1?1???u??f???f?z?， z?u?且在z平面上?点的去心邻域U?{?}：0?t?z???可以变为u平面上原点的去心邻域N??0?:0?u?u???111(如t?0，规定???)；圆周C：z???t可变为圆周?：
tt1?.从而易得 ?t 所以
11fzdz?????2?iC2?i???1?1f???2du. ?u?u? Resf?z???Res?fz??u?0? 例1 计算f?z?? 解：显然f?z???1?1????2?. （3-5） ?u?u?3在其极点处的留数. 34z?z3，所以z??1是f?z?的1阶极点，z?0是f?z?的3阶极点，3z?1?z?根据推论1可知,Resf?z?????1?,
z??1 5
而 ??z??(z?1)f?z??z??13且???1??0， 3z所以 Resf?z?????1???3. 由定理3.1可得 ，Resf?z??z?0????0?2!,
而 ??z??z3f?z?且??0??0, 故 ????z??6?1?z?3,
所以 Resf?z??3.
z?0 例2 试计算函数f?z??z9?z2?1??z?2?42在无穷远点处的留数.
解：令u?1?1?，则??u??f???f?z?. z?u?根据式（3-5）可知，先计算
11?1?1u9 f???2? ?22?u?u?1??1?u?1?2?2??4??u??u? ?1u?1?u2??1?2u?42
又因为u?0为一阶极点，所以
? Resf?z???Res?fz??u?0?
(二)应用留数求复积分
例3 计算积分?3z?1z?3?1?1????2??1 ?u?u?z?z?2?3z?12dz
解：被积函数f?z??由推论1可知，
z?z?2?2在圆周z?3的内部只有1阶极点z?0和2阶极点z?2.
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