第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式
§1.2 n阶行列式
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念。为此，先介绍排列的有关知识。
㈠排列与逆序：(课本P4)
１、排列的定义：由数码1，2，…，n，组成一个有序数组i1i2?in，
称为一个n级排列。
【例1】1234是一个4级排列，
3412也是一个4级排列，
而52341是一个5级排列。(课本P4中例)
【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。
【例3】数字由小到大的n级排列1234…n 称为自然序排列。
２、逆序的定义：在一个n级排列i1i2?in中，如果有较大的数it排在is的前面，则称it与is构成一个逆序。(课本P4)
【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，
在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。 3、逆序数的定义：一个n级排列i1i2?in中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为N(i1i2?in)。(课本P4) 【例5】排列3412的逆序数为N(3412) = 4，
排列52341的逆序数为N(52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。
4、奇、偶排列的定义：如果排列i1i2?in的逆序数N(i1i2?in)是奇数，
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则将i1i2?in称为奇排列；如果排列i1i2?in的逆序数N(i1i2?in)是偶数，则将i1i2?in称为偶排列。(课本P4)
【例6】由于N(3412) = 4，知排列3412是偶排列，
由于N(52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N(123…n) = 0，知自然排列123…n是偶排列。
【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。奇偶排列各占一半。
5、对换的定义：在一个n级排列i1?it?is?in中，如果其中某两个数it与is对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列
i1?is?it?in，这样的变换称为一个对换，记作(it,is)。(课本P5)
【例8】在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214。 【例9】偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214；
反之，奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412。 定理1.1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。(课本P5) 定理的证明见课本P5。
【例10】奇排列132经对换(3，2)得到偶排列123，
偶排列312经对换(1，2)得到奇排列321。
定理1. 2 n个数码(n?2)共有n！个n 级排列，其中奇、偶排列各占一半。(课本P6)
定理的证明见课本P6。
【例11】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有
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123，312，231三个。
相应练习见课本
【第四版】习题一(A)中的8大题。
=============================================== ㈡ n阶行列式的定义：(课本P6)
我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手，引出n阶行列式的定义。 二阶行列式为
a11a21a12a22?a11a22?a12a21，
a11三阶行列式为a21a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，
a31我们可以从二阶、三阶行列式中发现以下规律：
(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，
三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行
和不同的列；
(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。
作为二、三阶行列式的推广，我们给出n阶行列式的定义。 定义1.2 用n个元素aij（i,j?1,2,?,n）和双竖线组成的记号
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a11a21?an1a12?a1n
a22?a2n???an2?ann称为n阶行列式。有时简记为aij。(课本P7)
n阶行列式的定义包含如下的内容：
⑴构成：n阶行列式的横排称为行，纵排称为列。元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示这个元素位于第j列，称为列标。(课本P7)
258【例12】三阶行列式 A?147有3行3列共32 = 9个元素。
369其中，第二行元素为 1，4，7；第二列元素为5，4，6，
元素7的位置为第2行第3列。
⑵含义：n阶行列式是n ! 个项的代数和，其中每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积。(课本P8)
由于一个项中的n个乘积元素来自不同的行，而乘法满足交换率，故为方便分析，可以将n个元素按行码的自然数顺序排列，再分析列码的状态。
当行码按自然序列排列后，列码的不同排列即对应不同的项，由于n个元素共有不同排列n!个，从而n阶行列式中共有n!个不同的项。 【例13】一阶行列式│a│= a只有1个项。 【例14】三阶行列式
a11A?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 4
第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式
?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，
共有3！＝6个不同的项，
a11a22a33和a13a21a32的元素都来自不同行且不同列，都可能是A
中的一个项，
而a11a21a33中的a11与a21同来自第1列，不是其中的一个项，
a13a21a22中的a21与a22同来自第2行，也不是其中的一个项， a11a22a33与a22a11a33是同一个项， a11a23a32与a11a22a33是不同的项。
⑶各项符号：n阶行列式中各项符号的确定有两种方法：
①只考察列标的排列：若该项中各元素的行标按自然数顺序排列，
则列标构成的排列为偶排列时，该项取正号；为奇排列时，该项取负号。
亦即，将某项中各元素的行标按自然数顺序排列后得到
a1i1a2i2?anin，含ai1j1ai2j2?ainjn的项应带符号为(?1)N(i1i2?in)。
于是n阶行列式所表示的代数和中的一般项为
(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。(课本P7)
【例15】在5阶行列式中，a12a23a35a41a54与a12a21a35a43a54这两项各取什么符号？
【解】由于该两项的行标已按自然数顺序排列，故
a12a23a35a41a54应取符号为(?1)N(23514)?(?1)4??1，为正号， a12a21a35a43a54应取符号为(?1)N(21534)?(?1)3??1，为负号。
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