第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式
②综合考察行标与列标的排列：若该项中各元素的行标构成的排列
的逆序数为S，列标构成的排列的逆序数为T，则S+T为偶数时，该项取正号；S+T为为奇数时，该项取负号。
亦即，含ai1j1ai2j2?ainjn的项应带符号为(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。
于是n阶行列式所表示的代数和中的一般项为
(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn。(课本P10)
显见，①为②的特例。
【例16】在5阶行列式中，含a32a23a15a41a54或含a12a41a55a24a33的两项各取什么符号？
【解】由于该两项的行标未按自然数顺序排列，故
含a32a23a15a41a54的项应取符号为
(?1)N(32145)?N(23514)?(?1)3?4??1，为负号，
含a12a41a55a24a33的项应取符号为
(?1)N(14523)?N(21543)?(?1)4?4??1，为正号。
⑷ n阶行列式的展开式：(课本P10)
n阶行列式的展开式有两种表达方式，一种较为简单，是将各项元素
的行标按自然数顺序排列形式的表达式，另一种是各项元素任意排列的表达式。具体分别叙述如下：
①各项元素的行标按自然数顺序排列时：
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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式
a11a21?an1其中，(?1)这里，
a12?a1na22?a2n???an2?annN(i1i2?in)?1?i1,i2,?,in?n? (?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。
a1i1a2i2?anin称为n阶行列式的一般项。
?为连加号，表示对该符号下的所有项求和。
于是，n阶行列式展开后是n!个项的和，各项都含两个因素：
1》n个来自不同行和不同列的元素的乘积，
2》将一个项的n个元素的行标按自然数顺序排列后，该项的符号
由列标的排列数的奇偶性确定为(?1)②一般情况下：
N(i1i2?in)。
a11a21?an1a11?a1na22?a2n???an2?ann?j1j2?jn遍取所有n级排列?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
?i1i2?in遍取所有n级排列j1j2?jn?(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn
其中，(?1)的普通形式。
N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn是n阶行列式的一般项
于是，n阶行列式展开后是n!个项的和，各项都含两个因素：
1》n个来自不同行和不同列的元素的积。
2》一个项的符号由行标的排列数与列标的排列数的和的奇偶性确
定为(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。
【例17】求4阶行列式中带负号且包含因子a11和a23的所有项。
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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式
【解】4阶行列式中，当行标按自然数顺序排列后，包含因子a11和a23的项为(?1)a11a23a3ia4j其中，i,j可以分别是2，4之一。
由于2，4两个数可以产生两个不同的排列24和42，所以，4阶行
列式中包含因子a11和a23的所有项可以为(?1)N(1324)Na11a23a32a44或
(?1)N(1342)a11a23a34a42两项，
但题目要求的是带负号的项，而因为N(1324)?1为奇数，
N(1342)?2为偶数，故4阶行列式中带负号且包含因子a11和a23的所有
项只有一个，为(?1)N(1324)a11a23a32a44??a11a23a32a44。
【例18】判断a14a23a31a42，a11a23a32a44，a11a24a33a44以及a31a24a43a12是
a11否为四阶行列式D?a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44中的一项？
a21a31a41【解】①a14a23a31a42的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为4312，这4个元素来自不同的列。由于行标已按自然数顺序排列，其符号应为
(?1)N(4312)?(?1)5??1，故a14a23a31a42不是4阶行列式中的一项；
②a11a23a32a44的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为
1324，这4个元素来自不同的列。由于行标已按自然数顺序排列，其符号应为(?1)N(1324)?(?1)1??1，故a11a23a32a44不是4阶行列式中的一项；
③a11a24a33a44的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为
1434，这4个元素中a24和a44都来自相同的第4列。故a11a24a33a44不是4
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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式
阶行列式中的一项；
④a31a24a43a12的行标为3241，这4个元素来自不同的行，列标为1432，这4个元素来自不同的列。其符号应为(?1)故a31a24a43a12不是4阶行列式中的一项；
N(3241)?N(1432)?(?1)4?3??1，
)【例19】若(?1N(i432k)?N(521j4)ai5a42a3ja21a4k是五阶行列式aij的一项，则
j,j,k应为何值？此时该项的符号是什么？（课本P11例2）
【解】①由于行列式定义规定每一项的元素来自不同行不同列，故五阶行列式的项中，行标和列标都只能是1，2，3，4，5这五个数字的排列，从而，该项的列标52j14中的j只能是3，该项的行标i432k中的i和k只能从1和5中选择，于是i?1,k?5或i?5,k?1，综合起来，应得两组答案：
i?1,j?3,k?5或i?5,j?3,k?1。
②当i?1,j?3,k?5时，该项的符号是
(?1)N(14325)?N(52314)?(?1)3?6??1，
即?a15a42a33a21a54是五阶行列式aij的一项；
当i?5,j?3,k?1时，该项的符号是
(?1)N(54321)?N(52314)?(?1)10?6??1，
即a55a42a33a21a14是五阶行列式aij的一项。
a【例20】计算行列式
b0h0e000f0。
00gcd 9
第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式
【解】由于该4阶行列式的各项中，只要含有一个0元素，该项就为0，所以，要计算该4阶行列式，只须找到其由不同行不同列的4个非0元素相乘的所有项。
考虑到来自不同行及不同列的要求，该4阶行列式不为0的项，使
行标按自然数顺序排列后，只有含adfh及含bdfg的两个，
而含adfh的项，其符号为(?1)N(1342)?(?1)2??1，知该项为adfh，
?(?1)3??1，知该项为
含bdfg的项，其符号为(?1)N(2341)?bdfg，
a从而，
b0h0e000f00101101001000011?adfh?bdfg。
00gcd【例21】用行列式定义计算。（课本P11）
【解】用aij表示行列式中第i行第j列元素，
由于该4阶行列式的各项中，只要含有一个0元素，该项就为0，所
以，要计算该4阶行列式，只须找到其不为0的所有项。而要得到非0项，项中各元素必须非0！
【解法一】第一行若取a12，这样第二行无论取a21还是a23，第三行都必然取到0，这样无法得到非0项；
第一行若取a14，这样第二行无论取a21还是a23，第三行都必然
取a32，
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