1、14东城一模22. 阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
BABAEECFDC
FDG
图1 图2
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试
了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若
∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，
EC=2，求DE的长．
BEC
ABDAFDEC图3 图4
（本小题满分5分）
解： (1)∠B+∠D=180°（或互补）． ??????1分 (2)∵ AB=AC，
∴ 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重
合. ??????2分 ∠B=∠ACG, BD=CG, AD=AG
∵ △ABC中，∠BAC=90°，
∴ ∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°． 即∠ECG=90°．
∴ EC2+CG2=EG2．??????3分 在△AEG与△AED中,
1
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD． 又∵AD=AG，AE=AE，
∴ △AEG≌△AED ． ??????4分 ∴ DE=EG ． 又∵CG=BD, ∴ BD2+EC2=DE2．
∴ DE?5．??????5分
2、14西城一模22.阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按如图1所示放置，已知OB=10，BC=6．将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标． 小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可．连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为y?kx?b（k?0,n?0），于是有 E（0，n），F（?n，k0）．所以在Rt△EOF中， 得到tan∠OFE=?k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）． yDE1 1ACyDACyDC111O FBxOBxO1Bx 图1 请回答：
图2 备用图
（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；
（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺
规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 参考小明的做法，解决以下问题： 12（4）将矩形沿直线y?kx?n折叠，点F落在OB边上（含端点），直接写出k的取值范围．
（3）将矩形沿直线y??x?n折叠，求点A的坐标；
解：（1）点A的坐标（23，0）；……………… 1分
（2）如图； ………………2分
（3）EF垂直平分OA，
则∠AOD=∠OFE．
yDE1ACO
2
1BFx∴tan∠AOD =tan∠OFE=
1． 2在Rt△AOD中，DA= OD tan∠AOD?3．
∴点A的坐标为?3，··························································································· 3分 6?； ·（4）?1?k??1 ······················································································································ 5分 3找到两个特殊点（OD和DC重合；EF过B点利用tan∠OFE=?k 3、14年海淀一模22．阅读下面材料：
在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？ 小明发现：若∠ABC=60°，
①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；
②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）.
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m． （1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为_________；
（2）如图4，若∠ABC的大小为2?，则六边形AEFCHG的周长可表示为________．
AEBFCGDHAAEGOEGDHAEG
BBHFCDBHFCDFC图1 图2 图3 图4 解：①6；………………………………………………………………………………1分 ②不变. ……………………………………………………………………………2分
（1）4+23; ……………………………………………………………………3分
（2）4+4sin?． ………………………………………………………………5分
4、14年朝阳22．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：
五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).
AACBOB图① 图② 图③
O3
小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为（xx＞0），可得x2=5，x=．．．．
由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
5.五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．
具体要求如下：
（1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为 ； （2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）； （3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）
解：（1）图④ 图⑤
10； ??????????????????????????? 1分
（2）如图（画出其中一种情况即可）
?????????????? 3分
（2）如图（画出其中一种情况即可） ?????????????????? 5分 5、
１４年石景山一模22．实验操作
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△
ABC以点
P?1,?1?为旋转中心，按顺时针方向旋转90?得到△DEF，请在坐标系中画出点P及△
4
?DEF； ° （2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60?）中有一个等边△ABC，它的顶点A，B，C都落在格点上，若将△ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60?得到△A?B?C?，请在菱形网格图中画出△A?B?C?.其中，点A旋转到点A?所经过的路线长为 . –5–4–3–2y54AACB–1321C12345–1–2–3–4–5OxBP图1 图2 °解:（1） y5 4 A3 F C 2 画出点P…………………..1分 1E 画出△DEF………………..2分 –5–4–3–2–1BO12345Dx –1（2） P–2–3CAB'A'–4–5CB PC'…………………………….4分 AB??4?3……………………………………………………5分 ６、１４门头沟一模22. 折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形—“叠加矩形”。请按照上述操作过程完成下面的问题：
C
（1）若上述直角三
5
图9