珠海市2012--2013学年度第一学期末学生学业质量监测高三理科数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．已知全集U?R，集合A＝{y | y＝2x，x∈R}，则CUA＝
A．? B．(0，＋∞) C． (－∞，0] D．R
?a?22．已知a，b是实数，则“?”是“a?b?5”的
b?3?开 始 n＝12, i＝1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是
A．若l∥m，m?α，则l∥α B．若l∥α，m?α，则l∥m n是奇数? 是 n＝3n＋1 否 n n＝ 2 i＝i＋1 n＝5? 是 输出i 否 C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α D．若l⊥α，m?α，则l⊥m 5．已知是虚数单位，复数
i3?i13131313A．???i ??i D．i B．??i C．
888810101010＝
结 束 (第3题图)
6． 函数y＝sin (2x＋ A．向左平移 C．向左平移
π8π4π4)的图象可由函数y＝sin 2x的图象
π8个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 个单位长度而得到
个单位长度而得到 D．向右平移
π4?x?y?5?0?7．若实数x，y满足不等式组?x?y?0 则2x＋4y的最小值是
?x?3?A．6 B．4 C．?2 D．?6
8． 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB‖=x1?x2?y1?y2，给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D.3
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题） 9．函数y?sinxx的导函数y?? ．
10．在递增等比数列{an}中，a2?2,a4?a3?4，则公比q＝ ．
11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
合唱社 粤曲社 武术社
a 高一 45 30
高二 15 10 20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝
332?3，
y B
b?3，若△ABC的面积为 ，则c= ．
xa22A F1 O F2 x 13．如图，F1，F2是双曲线C：
?yb22?1(a＞0，b＞0) 的左、右焦
点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中， 已知曲线C1：
(第13题图)
?x?t?2?x?3cos? , (为参数）与曲线C2 ：?,（?为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的?y?1?2ty?3sin???长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线， 若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .
P
COAB(第15题图）D
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设向量a＝(2,sin?)，b＝(1,cos?)，θ为锐角． （1）若a·b＝
13
，求sinθ＋cosθ的值； 6
π
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
3
17．（本小题满分12分）
某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.
18．（本小题满分14分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
（1）求证：BC//平面C1B1N； （2）求证：BN?平面C1B1N； （3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP//平面CNB1,并求
BPPC的值.
4 8主视图8 4
4俯视图 8 侧视图
19．(本题满分14分)
xy已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b)，?AF1F2ab22为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|?|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．
20．(本小题满分14分)
2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围；
1已知函数f(x)?ax?2x，g(x)?lnx.
2（2）是否存在实数a?0，使得方程
g(x)x1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不相等
e的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分14分）
已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1的值及数列?an?的通项公式； （2）求证：
1a31an(an?2)4 (n?N*).
?1a23?1a33???1an3?532(n?N)； 1a1)(1?1a2)???(1?1an)cos*（3）是否存在非零整数?，使不等式?(1?*?an?12?1an?1 对一切n?N都成立？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.
珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测
高三理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：CABD AADB 二、填空题： 9．函数y?sinxx的导函数y?? ．
10．在递增等比数列{an}中，a2?2,a4?a3?4，则公比q＝ ． 11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
合唱社 粤曲社 武术社
a 高一 45 30
高二 15 10 20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝
332?3，
y B
b?3，若△ABC的面积为 ，则c= ．
xa22A F1 O F2 x 13．如图，F1，F2是双曲线C：
?yb22?1(a＞0，b＞0) 的左、右焦
点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中， 已知曲线C1：
(第13题图)
?x?t?2?x?3cos?C , (为参数）与曲线 ：,（?为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的??2?y?1?2t?y?3sin?长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割 若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .
COD线，
P A
B(第15题图）