设H(x)?ax2?(1?2a)x?lnx (x?0)，原方程在区间(
1e1e,e)内有且只有两个不相等的实数根,
即为函数H(x)在区间(,e)内有且只有两个零点. ??6分
H?(x)?2ax?(1?2a)?1x?2ax?(1?2a)x?1x12?(2ax?1)(x?1)x????7分
令H?(x)?0，因为a?0，解得x?1或x??2a（舍） ???????8分
当x?(0,1)时, H?(x)?0, H(x)是减函数；
当x?(1,??)时, H?(x)?0，H(x)是增函数.??10分
1?H()?0,?e?1H(x)在(,e)内有且只有两个不相等的零点, 只需?H(x)min?0,????13分
e?H(e)?0,??22?e?e?a1?2a(1?2a)e?a?e,?1??0,?a??2?22e?1eee????即?H(1)?a?(1?2a)?1?a?0, ∴?a?1,
??221?eae?(1?2a)e?1?(e?2e)a?(e?1)?0,?a?2,?e?2e????解得1?a?, 所以a的取值范围是(1,) ． ???????14分
2e?12e?1a(a?2)21．（1）由Sn?nn.
4a(a?2)当n?1时，a1?S1?11，解得a1?2或a1?0（舍去）． ??2分
4当n?2时，
a(a?2)an?1(an?1?2)22?an?an?1?2(an?an?1)， ?由an?Sn?Sn?1?nn44∵an?0，∴an?an?1?0，则an?an?1?2，
∴?an?是首项为2，公差为2的等差数列，故an?2n． ??????4分
e?e2e?e2另法：易得a1?2,a2?4,a3?6，猜想an?2n，再用数学归纳法证明(略)．
（2）证法一：∵
1an3?1(2n)3?18n?n2?18n(n?1)2?18(n?1)n(n?1)
?116(n?1)n3[11a23?1n(n?1)???](n?2)，??4分
?123∴当n?2时，
1a1??1a331an3?143?163???1(2n)3
??12183?111111[(?)?(?)????] 161?22?32?33?4(n?1)nn(n?1)1?1111115.? 7分 [?]????162n(n?1)8162321a31当n?1时，不等式左边??18?5321显然成立. ?????? 8分
证法二：∵n3?4n(n?1)?n(n2?4n?4)?n(n?2)2?0，∴n3?4n(n?1).
∴
1an3?1(2n)3?18n33?1a2132n(n?1)3?32n?11an3(1123??1n)(n?2).??4分 ?163∴当n?2时，
?1?11a1??1a33????143???1(2n)3
11111111115.??7分 [(1?)?(?)???(?)]??(1?)???3232223n?1n832n83232115当n?1时，不等式左边?3??显然成立. ??8分
a1832（3）由an?2n，得cos设bn?(1?1a11a2?an?121?cos(n?1)??(?1)n?1，
)(1?)???(1?1an，则不等式等价于(?1)n?1??bn.
)an?1bn?1bn?an?1?1??1??an?1?1an?1???2n?11??1???2n?32n?2???2n?2(2n?1)(2n?3)?4n?8n?44n?8n?322?1，?
?9分
∵bn?0，∴bn?1?bn，数列?bn?单调递增. ???????? 10分
假设存在这样的实数?，使得不等式(?1)① 当n为奇数时，得??(bn)min?b1?n?1??bn对一切n?N*都成立，则 ； ??11分 ，即???8515233② 当n为偶数时，得???(bn)min?b2?综上，??(?8515. ??12分
8523,)，由?是非零整数，知存在???1满足条件．?? 14分 153