9、
xcosx?sinxx2 10、2 11、150 12、 7
13、13 14、 4 15、 6 三、解答题：12+12+14+14+14+14=80 16．（本小题满分12分）
设向量a＝(2,sin?)，b＝(1,cos?)，θ为锐角． （1）若a·b＝
13
，求sinθ＋cosθ的值； 6
π
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
3
17．（本小题满分12分）
某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望. 18．（本小题满分14分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
（1）求证：BC//平面C1B1N； （2）求证：BN?平面C1B1N； （3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP//平面CNB1,并求
BPPC的值.
4 8主视图8 侧视图
4 4俯视图 8
19．(本题满分14分)
xy已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b)，?AF1F2ab22为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|?|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．
20．(本小题满分14分)
2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围；
1已知函数f(x)?ax?2x，g(x)?lnx.
2（2）是否存在实数a?0，使得方程
g(x)x1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不相等
e的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分14分）
已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1的值及数列?an?的通项公式； （2）求证：
1a13an(an?2)4 (n?N*).
?1a23?1a33???1an3?532(n?N)； 1a1)(1?1a2)???(1?1an)cos*（3）是否存在非零整数?，使不等式?(1?*?an?12?1an?1 对一切n?N都成立？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.
三、解答题： 16．（本小题满分12分） 解：（1） 因为a·b＝2＋sinθcosθ＝
131
，所以sinθcosθ＝． ?????? 3分 66
4
所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝．
3
23
又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝． ?????? 6分
3
（2） 解法一 因为a∥b，所以tanθ＝2． ?????? 8分
2 sinθcosθ2 tanθ4
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝， 22＝2 sinθ＋cosθ tanθ＋15
cosθ－sinθ1－tanθ3
cos2θ＝cosθ－sinθ＝＝＝－．?????? 10分
sin2θ＋cos2θ tan2θ＋15
2
2
222
π13所以sin(2θ＋ )＝sin2θ＋cos2θ
322
4－331433＝×＋×(－ )＝ ． ?????? 12分 252510
解法二 因为a∥b，所以tanθ＝2． ?????? 8分 所以 sinθ＝
255，cosθ＝． 55
43
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－． ?????? 10分
55π13所以sin(2θ＋ )＝sin2θ＋cos2θ
322
4－331433＝×＋×(－ )＝ ． ?????? 12分 252510
17、（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=4?4?4?64 ?? 3分 (Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为 P2?C4C3A243222?2?3?3?24?4?4?916 ?????? 7分
(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为?，则?＝0,1,2,3
333P(?＝0)＝
? P 0 2764 1 2764 32 964 3 164 4?2764 P(?＝1)＝
C3?34312?2764
1P(?＝2)＝
3?C343?964 P(?＝3)＝
C343?164 ?????? 9分
?的分布列是
???? 10分
E??0?2764?1?2764?2?964?3?164?34 ???? 12分
18.解：（1）证明：?该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
?BA,BC,BB1两两互相垂直。以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
N(4,4,0),B1(0,8,0)，C1(0,8,4),C(0,0,4) ，B(0,0,0) ?????? 2分
∵BC?(0,0,4)，B1C1?(0,0,4)，BC?B1C1，∴BC//B1C1 ∵ B1C1?平面C1B1N，BC?平面C1B1N，
∴BC//平面C1B1N?? 4分
（2）?BN?B1N?(4,4,0)?(4,?4,0)?16?16?0，BN?B1C1?(4,4,0)?(0,0,4)?0
C C1 ?BN?B1N,BN?B1C1，又B1N?B1C1?B1 P ?BN?平面CB1 1B1N ?????? 8分
B A M （3）设P(0,0,a)为BC上一点，?M为AB的中
N 点?M(2,0,0)，MP?(?2,0,a)，NC?(?4,?4,4)
设平面的一个法向量为n?(1,x,y)，则有 n?NC,n?NB1，则有n?NC?0,n?NB1?0,
∴(1,x,y)?(?4,?4,4)?0,(1,x,y)?(?4,4,0)?0，得x?1,y?2，∴n?(1,1,2)，?10分
?MP//平面CNB1，?n?MP，于是MP?n?(?2,0,a)?(1,1,2)??2?2a?0
解得：a?1 ????????? 12分 ?MP?平面CNB1，?MP//平面CNB1，此时PB?a?1，
?BP1PC?3 ????????????? 14分
（注：此题用几何法参照酌情给分）
19、(本题满分14分)
?a?2c解：（Ⅰ）解：由题设得??a?a?2c?6 ?????? 2分
??a2?b2?c2，
解得： a?2,b?故C的方程为
x23，c?1?? 3分
4?y23?1. ?? 5分 离心率e?3(x?1)，?? 7分
12 ??????? 6分
（2）直线F1A的方程为y? 设点O关于直线F1A对称的点为M(x0,y0)，则
?y0?x?3??1?0??x?y0?3(0?1)?2?232323?x??0?2?（联立方程正确，可得分至8分） ??y?30?2?所以点M的坐标为 (?,) ???????????? 9分
∵PO?PM，PF2?PO?PF2?PM?MF2，?? 10分
3232|PF2|?|PO|的最小值为|MF2|?(??1)?(2?0)2?7 ????? 11分
?032(x?1) 即y??直线MF2的方程为y?(x?1) ????? 12分
35??123?3(x?1)?y???由?5??y?3(x?1)2?x???323?)????? 14分 ，所以此时点P的坐标为 (?,?33?y?3?3?
20．解：（1）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，不符合题意．?1分 当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为x??合题意．
当a?0时，函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数， 则?2a?1，解得a??2，
2a，由于y?f(x)在[1,??)上是单调增函数，不符
综上，a的取值范围是a??2． ?????????????4分 （2）把方程
g(x)x?f?(x)?(2a?1)整理为
2lnxx?ax?2?(2a?1)，
即为方程ax?(1?2a)x?lnx?0. ????????5分