平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），
D′B=（2+4）+1=37． ⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．
比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．
利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．
222
圆柱表面的最短路线是一条曲线，―展开‖后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．
例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？
解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．
圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．
例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．
16
解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．
例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？
分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．
因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理， AF2=（AC+CE）2+EF2 ＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．
17
分析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．
解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB．
例8 在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？
解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：AE＋EF＋FB＋BA．
证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A′B′，例如上图中用―·—·—·‖表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E→F→B→A是最短路线．
18
●对称问题
教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。
教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。
一、点关于一条直线的对称问题
问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？
问题数学化：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为LL，小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得AC+BC最短。（如图所示） A B知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，
把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。
中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。
轴对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是：过M作MO垂直于PQ于点O，并延长MO到点N，使NO=MO，则点N就是点M关于直线PQ的对称点。
A'A'问题分析：过A作AO垂直于直 线L于点O，延长AO到点A’，使CCLLOOA’O=AO，连接A’B，交直线L于点 DC，则小明沿着ACB的路径就可以满 AAB足小狗喝上水，同时又使回家的路 B程最短。
问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。
P问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两 点A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）
LL 提示：作PC平行于AB，且PC==AB，则问题变为：在直线
AB上找一个点B，使它到P、C两点的距离之和最短。
问题的延伸2：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直P2CBC线上找点B、C使得PB+BC+CPBP1最短，如何确定B、C的位置？
L1PL2L1PL219
提示：分别作点P关于直线L1和直线L2的对称点P1和P2，连接P1P2分别与两直线交于B、C点，则PB+BC+PC最短。证明方法同上。
二、桥该建在哪里：
问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？
A问题数学化：在直线L1和直线L2之间作一条垂线段CD，使得BC+CD+DA最短。
L1
L2知识介绍：
关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： B（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；
（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。
另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）
问题分析：由于CD的长度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我们想办法把线段AD平移到和
AA线段BC共线的位置，于是变化
为下面两图。 A'A'问题的总结与结论：一般来DQLDL11说，我们利用图形的对称性寻找
L2LCCP2到最近的位置，然后利用三角形
BB和对称的性质去证明你所选取的
位置是题目中所要求的位置即可。
A问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又
A'该如何呢？如图，把A向下平移到A’的位置，使线段DL1AA’等于河L1－L2的宽度；把B向上平移到B’的位置，
L2使线段BB’等于河L3－L4的宽度。连接线段B’A’，交CFL3L2于点C，交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、
L4FE，就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的EB'河流建更多的桥又如何呢？
B
三、对称问题的进一步延伸。
我们已经可以应用轴对称的特点找到一些特殊位置使得线段和最小，那么对于线段差最小的问题，是否可以得出一些相关的结论呢？
20