●4道经典题
1.小学生小明问爷爷今年多大年龄，爷爷回答说：―我今年的岁数是你的岁数的7倍多，过几年变成你的6倍，又过几年变成你的5倍，再过若干年变成你的4倍。‖你说，小明的爷爷今年是多少岁？
解：设小明今年的年龄是x岁，那么爷爷年龄是7x。
过n年后，爷爷的年龄是小明的6倍，所以 6(x+n)=7x+n, x=5n.所以x除得尽5。
过m年后，爷爷年龄是小明年龄的6倍，所以5(x+m)=7x+m。所以x=2m.因此x是偶数。 因此x是10的倍数。爷爷的年龄是70的倍数。(140岁，也可能啊：)) 所以爷爷年龄是70岁
设小明的年龄为x岁，爷爷是7x岁。
过了a年，小明的年龄为x+a岁，爷爷是7x+a岁。有
（x+a）*6 = 7x+a，化简得 x = 5a ………………………………（1） 又过了b年，小明的年龄为x+a+b岁，爷爷是7x+a+b岁。有
（x+a+b）*5 = 7x+a+b，化简得 x = 2*（a+b）…………………（2） 又过了c年，小明的年龄为x+a+b+c岁，爷爷是7x+a+b+c岁。有 （x+a+b+c）*4 = 7x+a+b+c，化简得 x = a+b+c …………………（3）
由（1）、（2）、（3）式得 x = 5a ，3x = 10b，x = 2c
x，a，b，c都是正整数，x是5、10、2的倍数，b是3的倍数。 所以x是10的倍数，最小的数是10。
因为小明是小学生，所以只能是10岁，而不能是20岁。所以首先考虑x =10。 因此，a = 2，b = 3，c = 5
当小明是10岁时，爷爷是70岁——爷爷是小明的岁数的7倍；
过了2年，小明是12岁，，爷爷是72岁——爷爷是小明的岁数的6倍； 又过了3年，小明是15岁，，爷爷是75岁——爷爷是小明的岁数的5倍； 又过了5年，小明是20岁，，爷爷是80岁——爷爷是小明的岁数的4倍；
小明的爷爷今年是70岁.
2. 某部队执行任务,以每小时8千米的速度前进,通信员在队伍中间接到任务后,以每小时12千米的速度把命令传到队头,然后再传到队尾,最后返回他在队中原来的位置,从离开他在队中的位置到返回共用7分12秒,问队伍长多少米?
解：设队伍长x米,通信员来回地跑,往队头跑时,相对于队伍的速度是12-8=4(千米/小时),而往后跑时,相对于队伍的速度是12+8=20(千米/小时),他总共相对于队伍跑了2倍队伍的路程,一段速度为4000米/小时,一段为20000米/小时, 所以 x/4000 + x/20000 = (7×60+12)/3600 解得x=400 则队伍长400米.
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设队伍长2x。因为通信员在队伍中间，所以他到队头和队尾的距离均为x。 那么，设他传到队头用的时间t1(也就是他追上最前面的那个人所用的时间)，则： 12t1=x+8t1 即：t1=x/4
那么，当他后来从队尾回到原来自己所在位置（队伍中间）的运动过程与上面相
同，所用的时间也是t2=t1=x/4
当他从队头传到队尾时候，设时间为t3（也就是他与最后面的那个人相遇的时间），则： t3=2x/(8+12)=x/10
故，整个过程用的时间t=t1+t2+t3=(x/4)+(x/4)+(x/10)=3x/5 所以： 3x/5=(7.2/60) 解得： x=0.2km=200m 所以，整个队伍的长=2x=400m
如果以部队为参照物(速度为0) 通信员同向(通信员行进与部队前进方向相同)速度为 12-8=4km/h 反向速度为 12+8=20km/h
同向所用的时间应该是反向的5倍,等于7分12秒的5/6，即6分钟，所以队伍长度为：4000*（6/60）=400米
3.如图，Rt△ABC的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。
解：设顶点A、B、C的对边分别为a,b,c，由于ABC为等边三角形，
则a2+b2=c2。以c为直径的半圆除三角形之外的部分面积为π（c/2)2/2-20,所以阴影部分的面积为
[π（a/2) 2]/2+[π(b/2)2]/2-[π(c/2)2]/2+20=[π(a2+b2-c2)]/8+20=20
三角形ABC的面积+以BC,AC为直径的两个半圆面积-以AB为直径的半圆面积
4.有一个三角形满足 a平方+b平方+c平方+338=10a+24b+26c，这是什么三角形？
解：（a-5）+（b-12）+（c-13）=0
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， 答案就是：（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0, a=5，b=12，c=13为直角三角形
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