所以△ＰＱＲ的周长＝P1Ｑ+ＱＲ+P2Ｒ。 根据两点之间线段最短，
△ＰＱＲ的周长＝P1P2，而∠ＰＯＡ＝∠P1ＯＡ， ∠ＰＯＢ＝∠P2ＯＢ，且ＯＰ＝ＯP1＝ＯP2＝１０， 又∠ＡＯＢ＝４５°，所以∠P1ＯP2＝９０°
即△P1ＯP2为等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周长的最小值为102
（二）在代数题组中应用
1例1，如图，抛物线y?x2?bx?2与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，
2且A（－1，0）。求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标 Y 判断△ＡＢＣ的形状，证明你的结论。点Ｍ（m，0） 是Ｘ轴上的一个动点，当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，
E 求m的值
1分析：（1）将A（－1，0）代入y?x2?bx?2 M 2A O B X 313得b??，所以抛物线的解析式y?x2?x?2
2221325C ?325?配方得：y?(x?)2?，所以顶点D?,?? 228?28?D （2）求出AC=5，BC=20，而AB=5 ∴AC2?BC2?AB2，故△ＡＢＣ为RT△
（3）作点C关于X轴的对称点E（2，0），
连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE的 4124解析式：y??x?2，当y=0时，解得x=
12412424∴Ｍ（，0）即m=
4141Y
例2、如图以矩形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ为原点，ＯＡ所在的直线为ＸP 轴，ＯＣ所在的直线为Ｙ轴，建立平面直角坐标系。
C 2 F B 已知ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，点ＥN1 F1 是ＡＢ的中点，在ＯＡ上取一点Ｄ，
N E 将△ＢＡＤ沿ＢＤ翻折，使点Ａ落在
P1 A ＢＣ边上的点Ｆ处。
O D M M1 3 X 直接写出点Ｅ、Ｆ的坐标：
E1 设顶点为Ｆ的抛物线交Ｙ轴正
半轴于点Ｐ，且以Ｅ、Ｆ、Ｐ为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
在Ｘ轴、Ｙ轴上是否分别存在点Ｍ、Ｎ，使得四边形ＭＮＦＥ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。
分析：（1）Ｅ（3，1），F（1，2）
31
在RT△FEB中，FB=2，BE=1，∴EF=5， 当EP5时，P1（0，0）不合题意 1?当EP?5时，如图所示P（0，4）
设抛物线的解析式为y?a(x?1)2?2，且过点P（0，4），代入得4?a(0?1)2?2 ∴a?2，∴y?2(x?1)2?2
作点F关于Y轴的对称点F1，点E关于X轴的对称点E1，连接F1E1分别交X轴，Y轴于点M，N。此时四边形ＭＮＦＥ的周长最小，
∵ F1E1= FN+MN+ME=F1N?MN?ME1?F1N1?M1N1?M1E1
F221E1 =3?4?5，
∴四边形ＭＮＦＥ的周长最小值=F1E1+EF=5?5
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●有理数的一题多解
有理数是学生进入初中阶段接触的第一块系统学习的代数知识，它不仅在知识体系上让学生第一次领略了系统性、层次性，而且也渗透了―分类‖、―一题多解‖等好的数学思想。所谓―一题多解‖，是指答案的多样性或方法的多样性。
本文试就本章出现的一题多解问题作一归类说明。
绝对值方程中的一题多解
一个数的绝对值表示点到原点的距离，而互为相反数的两数到原点的距离相同，故方程 |x|=a(a>0) 的解有两个：x1=a或x2=—a,他们是一对互为相反数。
例1解方程|x+1|=2
解：∵|x+1|=2 ，∴x+1=2或—2，∴x=1或—3.
评注：若|x|=0,则x=0,此时方程只有一解，注意区别。
例2 方程|x-2|+|x-3|=1的解的个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3（第41届美国高中数学竞赛，第4届初中祖冲之杯数学邀请赛试题）
解：该题的几何意义是：点x到2的距离与到3 的距离的和等于1，由图形可知，x在这两点之间（含这两点），
即方程的解是2≤x≤3 ,故选E 0 1 2 3
最值问题中的一题多解
所谓最值，即指最大值或最小值，在本章中涉及的最值问题主要是与绝对值相关的距离的最值，在竞赛中会有所涉及。
例3 求y=|x-1|+|x+3|的最值，并求此时x的取值范围。
解：根据绝对值的几何意义，y表示数轴上的一点x到两点1和3之间的距离之和，从数轴上看，当x<1或x>3时,y取不到最大、最小值，当1≤x≤3时，y可取最小值2，此
B A 时使y取最小值2的
点分布在线段AB上，即1≤x≤3. 1 0 3
例4求y=|x-1|-|x-3|的最值，并求此时x的取值范围。
解: 同例3,y表示数轴上的点x到点1、3的距离之差，分情况讨论如下： 1)x>3时，y=2 2) 1≤x≤3时,-2≤y≤2 x 0 1 3 3)x<1时，y=-2.
故y取最大值为2，此时x≥3,取最小值 -2，此时x≤1.
0 0 1 1 x 3 3 33
评注：例3与例4的区别在于相差一个 x 符号，而结果却大相径庭。但这一点从几 何意义上来看，是很清晰的。所以，对于此类与距离有关的最值问题，我们可以借助于图形，以获得直观的理解。
乘方运算中的一题多解
在乘法运算中，根据符号法则——同好得正，异号得负，故有1?1=1，(-1)?(-1)=1，故解方程x2=1时，x可取1或-1，即二次方程x2=1有二解。当然，这里的1可以换成其他的数。
例5解方程(x-3)2=9
解：∵32=9,(-3)2=9,∴x-3=3或-3，∴x=0或6.
评注：由于所学知识有限，现阶段我们只能利用乘方的含义求解诸如―x2=a2,a为有理数‖的二次方程，更一般的二次方程的解法构成了初中数学的一大分支，将在以后学到。
例6 解方程x3=x
解:由x3=x得x3-x=0,即：x(x2-1)=0,故，x=0或x2=1，即x=1或-1， 综上，原方程的解为x=0，1，-1.
评注：并非所有的形如xn=a(a≥0)的方程都有多解，如x4=64就只有一个解x=4.一般地，对方程xn=a(a>0)，若n为偶数，则方程有2解，且二解互为相反数；若n为奇数，则只有一解。
四则运算中的一题多解
此处的―一题多解‖取多种解法的意思。我们知道，四则运算中，运算律或运算技巧的使用可以让我们充分领略―条条大路通罗马‖的数学思想方法。当我们熟悉多种方法后，可以选择一种最好的。
78377例7计算(1--)?(-)+(-)
834812877788解一：原式=（--）?(?)+(-)=?42?21?14?8-
3481272473 =?7?8?8 = -3
2473解二：原式=（
87778--）?(?)+(-)
34812728 =?7?8?7?8?7?8?8=-2+1+-=-3
3347871273评注：解法一在括号内通分后计算，是通常的路子；解法二注意到括号内分数分子相同，可与括号外的分数约分，使用了分配律，易于口算。因而快捷一些。
例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.
解一：S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+ …+(2001-2002)+2003 =(-1)+(-1)+(-1)+ …(-1)+2003 =-1001+2003=1002
解二：S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2002)=(1?2003)?1002-(2?2002)?1001
22 34
=1002?1002-1002?1001=1002
解三：S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+ …+(-2002+2003) =1+1?1001=1002
评注：解法一、三如出一辙，不过解法三灵活利用了减法的意义——减去一个数等于加上这个数的相反数，因而避开了负数的运算，解题过程更―安全‖；解法二思路简单：正负数分别相加，再把结果相减，不过利用了数列的求和公式，技巧颇高。
例9计算S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210
解一：S=(22-2)–(23-22)-(24-23)-…(210-29)+210
=22-2-23+22-24+23-…-210+29+210
=22-2+22=6
解二:S=(210-29)-28-27-…-22+2=(29-28)-27-26…-22+2 =(28-27)-26-25-…-22+2=……=23-22+2=6 解三:由题意S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210 故 2S=22-23-24-25-26-27-28-29-210+211
两式相减得 S=22-2+22-210-210+211=-2+8=6
评注：解法一巧用相邻两项的关系得2n=2n+1-2n,因而利用加法运算律解决问题；解法二是―倒着走‖，每一步总是把S得表达式缩短一点，从而得解，过程富有节奏感；解法三则运用了―错位相减法‖，技巧性较强，但具有一般性。
本章中的一题多解问题只是为我们提供了一个领略数学思想方法的窗口，在后继课程中我们还要学习更多的一题多解问题，同学们要能养成及时总结、归纳的习惯，形成自己的学习方法，从而更高效地学习数学知识。
最后，提供一组练习，供同学们复习巩固使用。
解方程 (2x+4)2=16 （x=0或-4）
①求y=|2x-2|+|2x-4|的最值； （1≤x≤2时，y取最小值2）
②求y=|2x-2|-|2x-4|的最值 （x≥2时，y取最大值2；x≤1时，y取最小值-2）
若数x满足|1-x|=1+|x|，那么|x-1|等于下式中的哪一个？
A.1 B.-(x-1) C.x-1 D.1-x （第三届祖冲之杯试题 选D）
391111计算①(1?1?1)?(?) （答案：?）
228121263②S=1?1?1?1?1?1?1 （S=1）
64248163264
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