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【导学号：91632081】
?2??1?
?3，＋∞?∪?2? [令f(a)＝t，则f(t)＝2t2， ????
若t＜1时，由f(t)＝2t2得3t－1＝2t2，即2t2－3t＋1＝0， 1得t＝1(舍)或t＝2，
1
当t≥1时，2t2＝2t2成立，即t≥1或t＝2，
22
若a＜1，由f(a)≥1，即3a－1≥1，解得a≥3，且a＜1；此时3≤a＜1， 111
由f(a)＝2，得3a－1＝2，得a＝2，满足条件， 若a≥1，由f(a)≥1，即2a2≥1， ∵a≥1，∴此时不等式2a2≥1恒成立， 1112
由f(a)＝2，得2a＝2，得a＝±2，不满足条件， 22
综上，3≤a＜1或a≥1，即a≥3. 21
综上可得，a的范围是a≥3或a＝2.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，31
b，c，已知sin A＝5，tan(A－B)＝－2.
(1)求tan B的值； (2)若b＝5，求c.
3
[解] (1)在锐角三角形ABC中，由sin A＝5，得 4
cos A＝1－sinA＝5，
2sin A3
所以tan A＝cos A＝4.
3分
6
由tan(A－B)＝
tan A－tan B1
＝－2，得tan B＝2.
1＋tan A·tan B
5分
8
255
(2)在锐角三角形ABC中，由tan B＝2，得sin B＝5，cos B＝5， 分
115
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝25， bcbsin C11
由正弦定理sin B＝sin C，得c＝sin B＝2.
12分 14分
16．(本小题满分14分)如图5，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1π
是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝2，M是棱BC的中点．
图5
(1)求证：OM∥平面ABB1A1； (2)求证：平面ABC1⊥平面A1BC.
[证明] (1)在△A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点， 所以OM∥A1B.
3分
又OM?平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，所以OM∥平面ABB1A1. 5分 (2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥BC， π
又∠ACB＝2，即BC⊥AC，而CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1.
而AC1?平面ACC1A1，所以BC⊥AC1，
又ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1，而BC，A1C?平面A1BC，且BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC.
又AC1?平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面A1BC.
14分 10分
17．(本小题满分14分)如图6，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长
7
为2 km，C，D两点在半圆弧上，满足BC＝CD，设∠COB＝θ.
图6
(1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB，BC，CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l最大值；
(2)若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．
π??
[解] (1)由题∠COB＝θ，∠AOD＝π－2θ，θ∈?0，2?，
??θ
取BC中点M，连结OM，则OM⊥BC，∠BOM＝2， θ
所以BC＝2BM＝2sin2.同理可得 π－2θθ
CD＝2sin2，AD＝2sin2＝2cos θ， θθ
所以l＝2＋2sin＋2sin＋2cos θ
22θ?θ?
＝2?1－sin22?＋4sin2＋2，3分
??π??θ1?2?
即l＝－4?sin2－2?＋5，θ∈?0，2?.
????θ1π
所以当sin2＝2，即θ＝3时，有lmax＝5.6分
111
(2)S△BOC＝2sin θ，S△AOD＝2sin(π－2θ)＝sin θcos θ，S扇形COD＝2θ. 11
所以S＝2sin θ＋sin θcos θ＋4θ， 11
所以S′＝2cos θ＋cos2θ－sin2θ＋4
8
1
＝4(4cos θ＋3)(2cos θ－1)，10分
π?π?
因为θ∈?0，2?，由S′＝0得θ＝3，列表得
??
θ S′ S π???0，3? ??＋ 递增 π3 0 极大值 ?ππ??3，2? ??－ 递减 π所以当θ＝3时，有面积S取得最大值．
π
答：(1)当θ＝3时，观光道路的总长l最长，最长为5 km； π
(2)当θ＝3时，鲜花种植面积S最大.14分
x2y21
18．(本小题满分16分)已知椭圆M：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k＞0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.
(1)求椭圆方程和直线方程；
PB
(2)试在圆N上求一点P，使PA＝22.
c1??a＝2，
(1)由题意知?2
a??c－c＝3，
[解]
解得a＝2，c＝1，所以b＝3.
x2y2
所以椭圆M的方程为：4＋3＝1. 圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.
3分
x2y2??＋＝1，
由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以由?43
??y＝kx＋m，＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2，② 由直线l：y＝kx＋m与N只有一个公共点，得
|k＋m|
＝5， 1＋k2
得(3
9
即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③ 将②代入③得km＝1，④ 1
由②，④且k＞0，得k＝2，m＝2. 1
所以直线l：y＝2x＋2.
3?1?－1，?(2)将k＝2，m＝2代入①可得A， 2???
又过切点B的半径所在的直线l′为y＝－2x＋2，所以得交点B(0,2)， 分
PB
设P(x0，y0)，因为PA＝22，
2
x20＋?y0－2?22
则＝8，化简得：7x0＋7y0＋16x0－20y0＋22＝0，⑤ 3??
?x0＋1?2＋?y0－2?2
??2
又P(x0，y0)满足x20＋y0－2x0＝4，⑥
8分
10
3x0＋5将⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝2.⑦
2
将⑦代入⑥得：13x0＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－
9
， 13
16分
?919?所以P(－1,1)或P?－13，13?.
??
19．(本小题满分16分)设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝ln x. (1)当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；
(2)记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围． [解] (1)当x∈[0,1]时，
1?1?2
f(x)＝x(1－x)＋m＝－x＋x＋m＝－?x－2?＋m＋4，
??
2
11
当x＝2时，f(x)max＝m＋4.
1?1?
当x∈(1，m]时，f(x)＝x(x－1)＋m＝x2－x＋m＝?x－2?2＋m－4，
??因为函数y＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max＝f(m)＝m2. 1＋2112
由m≥m＋4，得m－m－4≥0，又m＞1，所以m≥2.
2
5分
10