第一节 空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标
1.坐标系和坐标
（1）坐标系：以O为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox轴(横轴)，Oy轴（纵轴），Oz轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则。我们把点O叫做坐标原点，数轴Ox，Oy，Oz统称为坐标轴。xOy，yOz，zOx三个坐标面。三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（如图1-1）
图5-1-1 图5-1-2 （2）点的坐标：设M为空间中一点，过M点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴，y轴，z轴的交点依次为P，Q，R（图1-2），设P，Q，R三点在三个坐标轴的坐标依次为x,y,z。空间一点M就唯一地确定了一个有序数组(x,y,z)，称为M的直角坐标，x、y、
z分别称为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为M(x,y,z)。
二、两点间的距离
设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，我们可用两点的坐标来表达它们间的距离
d。
2 将M1,M2的坐标画出(图5-1-3)，有d?M1M222?M1N?NM2
2222 ?M1P?M1Q?M1R
因为M1P?PP12?x2?x1
M1Q?QQ12?y2?y1 所以d?M1M2?2M1R?R1R2?z2?z122
(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) x2?y2?z2。
特别地，M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离为d?OM?
第二节 向量代数
一、向量的概念
在日常生活中，我们经常会遇到两类不同的量，一类像距离、温度、体积、质量等，这一
类量的共性是给出大小便可确定，我们称这种量为数量；而另一类如力、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出大小，还要给出它们的方向，才能确定下来，这种具有大小和方向的量称为向量。
????段的长度表示向量的大小。若向量起点为A，终点为B，则记为AB（图5-2-1）.也可以用黑体字母表示向量，如a、b等。
????????向量的大小又叫做向量的模，向量AB的模用AB来表示，而向量a的模为a。
3、模为1的向量称为单位向量。模为0的向量称为零向量,记作0。0的方向是任意的。 与向量a的模相等、方向相反的向量叫做a的反向量(负向量),记作?a。如果两个向量长度相等且方向也相同，就说这两个向量相等。于是一向量平行移动后仍与原向量相等。 注意，两个向量不能比较大小。
1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（或称矢量）.
2、向量的表示：我们用有向线段来表示一个向量，其中，线段的方向表示向量的方向；线
????? 4、在坐标系中，以坐标原点O为起点，向已知点M引向量OM，称之为点M对于点O的
向径。 二、向量的运算
1、向量的加法
在物理学中求两个力的合力的时候我们是用“平行四边形法则”，即由这两个力为邻边做平行四边形，平行四边形的对角线就是合力。这种方法也可以求向量的和。
????????定义1 对于二向量a与b,以A为起点作AB?a,再以B为起点作向量BC?b,向量????c?AC称为向量a与b的和,记作c?a+b（图5-2-2）
图5-2-2 向量的加法运算性质:
交换律: a+b?b+a；
结合律: (a+b)+c=a+(b+c)；
零向量: a+0=a； 反向量: a+(-a)=0 2、向量的减法
定义2 若b+c=a,则称向量c为向量a与b的差,记作c=a?b。
????????????OBAOA=aOB=b如图5-2-3，取为起点，作向量，，则向量就是差向量：
????????????a?b?OA?OB?BA
例
3、向量与数的乘法
向量与数的乘积可以看作是向量的倍数
定义3 设a为任意向量，??R，向量a与数?的乘积?a仍然是一个向量，且： 1）?a的模为a的模的
?倍，即?a??a；
2）当??0时，?a与a同向；当??0时，?a与a反向；当??0时，?a?0； 3）若a平行于b，则a??b；反之亦然；
4）用a0表示与a同向的单位向量，则有a?a?a0或a0?a(a不为零向量） a向量与数的乘法运算性质(a、b为任意向量，?、?为任意实数): 1)1?a?a；
2)(???)a??a??a
?(a?b)??a??b （分配律） 3)?(?a)??(?a)?(??)a（结合律）. 三、向量的坐标
1、向量的夹角
设两向量a和b相交于点S（可通过平移使之相交），在两轴决定的平面上，把其中一向量绕点S旋转，使它与另一向量重合时所需要旋转的角度，就称为向量间的夹角，记为a,b 或a,b。限定在0到?之间（如图5-2-4所示）。
????若向量AB的起点A和终点B在轴l上的投影分别为A?和B?（图5-2-5），则轴l上的有向?????????????线段A?B?的值（记为A?B?）叫做向量AB在轴l上的投影，记作prjlAB?A?B?,
????????定理 prjlAB?AB?cos?
???????? 证明：通过向量AB的起点A引轴l?与l平行，且有相同的正方向，则轴l和向量AB间的
????????????夹角?等于轴l?与AB间的夹角，且有prjlAB?prjl?AB，（图5-2-6）。
??????????????????prjl?AB?AB?ABcos?，所以prjlAB?ABcos?。
当?为锐角时，投影为正；当?为钝角时，投影为负；当?为直角时，投影为0。
3、向量的坐标
2、向量在轴上的投影
?????设向量OM的起点是坐标原点，而终点M的坐标OA?x，OB?y，OC?z（图5-2-7）， ???????????????????????????????????????????????得OM?OA?AP?PM?OA?OB?OC,向量OA,OB,OC叫做向量OM在坐标轴上的分?????????????????又OM在坐标轴上的分向量为 OA?xi，OB?yj，OC?zk，所以
??????????????????????OM?OA?OB?OC?xi?yj?zk。x,y,z是OM在坐标轴上的投影。
一般地，如果向量a在x轴，y轴，z轴上的投影依次为x,y,z，则其在x轴，y轴，z轴
向量。
取坐标轴Ox,Oy,Oz上以O为起点的三个单位向量，分别记为i,j,k，叫做基本单位向量。
上的分向量为xi,yj,zk，故有 a?xi?yj?zk，x,y,z叫做a的坐标，记为a??x,y,z?。此时要注意向量与点的坐标区别。 例 a??2,3,1??2i?3j?1k。
利用向量的坐标，其加、减及向量与数的乘法的运算如下：
设a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?，则a?x1i?y1j?z1k，b?x2i?y2j?z2k，所以有
a?b?(x1?x2)i?(y1?y2)j?(z1?z2)k??x1?x2,y1?y2,z1?z2?a?b?(x1?x2)i?(y1?y2)j?(z1?z2)k??x1?x2,y1?y2,z1?z2?
?a??x1i??y1j??z1k?{?x1,?y1,?z1}，（?为一常数）。
；
???????例 设两定点为M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)，求向量M1M2的坐标（图5-2-8）.
???????????????????????????????????? 解：作向量OM1，OM2，M1M2，则M1M2?OM2?OM1，
???????????OM2??x2,y2,z2??x2i?y2j?z2k，OM1??x1,y1,z1??x1i?y1j?z1k， ??????????????????M1M2?OM2?OM1
?(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k
??x2?x1,y2?y1,z2?z1?
4.方向余弦
????????????????????222设向量OM的终点为M(x,y,z)，即OM??x,y,z?，OM?x?y?z，若向量OM与坐标轴Ox,Oy,Oz的正向间的夹角顺次为?,?,?（向量的方向角），则cos?,cos?,cos?叫
?????做向量OM的方向余弦。
???????????????因OA?OMcos?，OB?OMcos?，OC?OMcos?，
所以cos???????，cos???????，cos???????，
OAOBOCOM2OMOM因此cos??2yx?y?z2222，cos??zx?y?z222，cos??xx?y?z222,
x2y2z2 cos??cos??cos??2???1，
x?y2?z2x2?y2?z2x2?y2?z2即任何向量的方向余弦的平方和等于1，由此容易推出单位向量a0可表示为 a0?cos?i?cos?j?cos?k。
例
四、两向量的数量积
在物理学中我们知道，物体在力F作用下，沿直线从点M1移动到点M2时，F作功为：
?????????????????W?F?M1M2cos?，像力F与位移M1M2进行的这种运算，称之为两个向量的数量积，有
定义 两向量a与b的数量积等于两向量的模与它们的夹角的余弦的乘积，通常用a?b表示
（图5-2-9），即a?b?a?bcosa,b。数量积又称为点积或内积。
22 因为a?a?a?a?cosa,a?a?a?a，a?a常简单记为a，所以上式即a?a.
22 数量积的基本性质
1）对于两非零向量a,b，a?b?0?a?b 2）交换律a?b?b?a （由定义即得） 3）分配律(a?b)?c?a?c?b?c
证 (a?b)?c?c?prjc(a?b)?cprjca?cprjcb?a?c?b?c. 4）数量积与数?的乘积满足结合律：(?a)?b?a??b??(a?b) 5）设两向量a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?， 则a?b?(x1i?y1j?z1k)?(x2i?y2j?z2k) ?x1x2(i?i)?y1x2(j?i)?z1x2(k?i) ?x1y2(i?j)?y1y2(j?j)?z1y2(k?j) ?x1z2(i?k)?y1z2(j?k)?z1z2(k?k)
所以a?b?x1x2?y1y2?z1z2。
6）两向量间的夹角
设向量a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?间的夹角为?，由
x1x2?y1y2?z1z2a?b。 ?222222a?bx1?y1?z1?x2?y2?z2???????? 例 知三点A(1,2,3)，B(2,1,?1)，C(?1,?1,?1)，求向量AB与BC夹角。
???????? 解：AB??1,?1,?4?，BC???3,?2,0?，
????????(1)(?3)?(?1)(?2)?(?4)(0)?1, cosAB,BC??2222223261?(?1)?(?4)?(?3)?(?2)?0?????????1所以AB与BC的夹角为arccos。
326 a?b?a?b?cos?，得cos??五、两向量的向量积
定义 由两向量a,b作出一个新向量c，使c满足：
1) 它的模c?a?bsina,b，c的值等于以a,b为邻边的平行四边形的面积； 2) c垂直于a，也垂直于b，故c垂直于由a,b所决定的平面； 3) c的正向按“右手法则“确定（图5-2-10）.
则c叫做a与b的向量积，记为c?a?b?c0?a?bsina,b。式中c0为向量c?a?b的单位向量。向量积又称为外积或叉积。
向量积的基本性质
1）a?a?0，这是因为sina,a?0
2）两个非零向量a,b平行的充要条件是a?b?0
3）由定义可得a?b??(b?a)——（向量积不满足交换律） 4）(?a)?b??(a?b)?a?(?b) 5）(a?b)?c?a?c?b?c(分配律)