当A?B?C?D?0，表示一点；当A?B?C?D?0，没有轨迹。
3、柱面（图5-5-2）
设空间任意一曲线L，过L上的一点引一条直线b，直线b沿L作平行移动所形成的曲面叫做柱面。曲线L叫准线。动直线的每一位置，叫做柱面的一条母线。准线L是直线的柱面为平面，是圆的柱面叫做圆柱面。若母线b与准线圆所在的平面垂直，这个柱面叫做正圆柱面。
如果柱面的母线平行于z轴，并且柱面与坐标面xOy的交线L方程为f(x,y)?0，则柱面上的其它点也满足这方程，因此，以L为准线，母线平行于z轴的柱面的方程就是f(x,y)?0（图5-5-3）。同理，g(y,z)?0和h(z,x)?0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面。
一般说来，若一个方程中缺少一个坐标，则这个方程所表示的轨迹是一个柱面，它的母线平行于所缺少的那个坐标的坐标轴，它的准线就是与母线垂直的坐标平面上，原方程所表示的平面曲线。
例如x?z?1在zOx平面上表示一个圆，而在空间中则表示一个以此圆为准线，母线平行于y轴的柱面（图5-5-4），又如y?x2?0表示以此抛物线为准线，母线平行于z轴的抛物柱面（图5-5-5）。
4、锥面
设L为一条已知平面曲线，B为L所在平面外的一个固定点，过点B引直线b与L相交，直线b绕点B沿L移动所构成的曲面叫做锥面，点B称作顶点，动直线叫做锥面的母线，L叫做准线。准线L是圆的锥面叫做圆锥面（图5-5-6）。若圆锥顶点B与准线的中心O的连线OB与准线所在的平面垂直，这个圆锥面就叫做正圆锥面。
设AOB为一直角三角形，我们以直角边OB为轴，斜边AB绕轴旋转，则得到以B为顶点的一个正圆锥面.取OB作z轴，OA为y轴，建立一个直角坐标系，设OB?b，OA?R，则
22222222????????点B坐标为(0,0,b)，设P(x,y,z)为母线BC上任一点，因BP∥BC，所以?x?0,y?0,z?b?xyx2?y2(z?b2)z?b222?与???0,??0,0?b?成比例，故有??，因????R，得， 22Rb???b22222即b(x?y)?R(z?b)?0。
5、旋转曲面
定义 一已知平面曲线l绕平面上一定直线旋转所成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面的轴，曲线l的每一位置叫做这旋转曲面的一条母线。
yoz面上一条曲线L的方程为??f(y,z)?0，这条曲线绕z轴旋转，就得到一个以z轴为
?x?0轴的旋转曲面。
L上任一点（图5-5-7） 设P，则f(y1,z1)?0，当曲线L绕z轴旋转时，1(0,y1,z1)为曲线
P与z轴的距离恒等于y1，点P1也绕z轴旋转到另一点P(x,y,z)，这时z?z1保持不变，且
2222即x?y?y1，因此， f(?x?y,z)?0。同理，曲线L绕y轴旋转所成的旋转曲面
的方程为f(y,?x2?z2)?0
?x2z2x2y2?z2?2?2?1?1。 例1 椭圆?a绕x轴旋转所成的曲面方程为2?b2ab?z?0?x2?y2z2?2?1。 若以同一椭圆绕z轴旋转，则所成的曲面方程为
a2b?y2?2pz例2 抛物线?绕z轴旋转所成的曲面的方程是x2?y2?2pz。
?x?06、椭球面
x2y2z2由方程2?2?2?1所确定的曲面叫做椭球面。这里a,b,c都是正数（图5-5-8）。
abc 椭球面的性质：
1）对称性：椭球面对于坐标平面、坐标轴和坐标原点都对称； 2）椭球面被三个坐标面xOy,yOz,zOx所截的截痕各为椭圆；（切截法）
?x2y2?y2z2?x2z2?1?2?2?1?2?2?1?? ?a2b2 ,?b ,?a, cc?z?0?x?0?y?0???用平行于坐标面xOy的平面z?h（h?c）截椭球面，截痕为椭圆
?x2y2??1?2a2b2?2h2h22c?hc?h2，如果h??c，则截，此椭圆的半轴为，a(1?)b(1?)?22cccc???z?h痕缩为两点(0,0,c)与(0,0,?c)。
至于平行于其它两个坐标面的平面截此椭球面时，所得到的结果完全类似． 3）如果a?b?c?0，则方程表示一个球面。
第五章图28个 §5.1习题
指出下列各点所在的位置(?2,2,5)(2,?3,4)(5,1,1)(?4,1,1)(?1,?2,?1)(?8，1，?3)(0,0,1) 求点(1,3,5)关于（1）各坐标轴（2）各坐标面（3）坐标原点的对称点的坐标
求下列两点间的距离（1）(0,0,0)和(?3,2,5)（2）(2,3,4)和(0,0,1)（3）(?7,5,2)和(?1,1,?1) 在z轴上求与两点A(?4, 1, 7)和B(3, 5,?2)等距离的点 §5.2习题
已知a?3i?j?2k，b?i?2j?k，求a?b、a?b
设已知两点A (2, 2, 2)和B(1, 3, 0)，计算向量AB的模、方向余弦和方向角 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3)，求与AB方向相同的单位向量e
??4，5)、C(2，4，7)??求三角形ABC的面积 已知三角形ABC的顶点分别是A(1, 2, 3)、B(3，§5.3习题
求过三点M1(2,?1,4)、M2(?1,3,?2)和M3(0,2,3)的平面的方程 §5.4习题
y?3z?4求直线x?2?与平面2x?y?z?6?0的交点 ?112求与两平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行且过点(?3,2,5)的直线的方程
y?3z?4求过点(2,1,2)且与直线x?2?垂直相交的直线的方程 ?112求过点M(2,1,?5)，且垂直于直线直线
x?1y?1z??的平面方程 32?1x?2y?2z?3??与平面2x?7y?3z?1的位置关系为 ?2?73x?2y?2z?3??直线与平面2x?7y?3z?1的位置关系 ?2?73