6）向量积的坐标表示，设a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?，则 a?b?(x1i?y1j?z1k)?(x2i?y2j?z2k) ?x1x2(i?i)?y1x2(j?i)?z1x2(k?i) ?x1y2(i?j)?y1y2(j?j)?z1y2(k?j) ?x1z2(i?k)?y1z2(j?k)?z1z2(k?k) ?(y1z2?z1y2)i?(x2z1?x1z2)j?(x1y2?y1x2)k ?y1z1y2z2z2x2x2y2例1 计算(a?b)?(a?b). 解：(a?b)?(a?b)
?(a?a)?(a?b)?(b?a)?(b?b) ??(a?b)?(a?b)??2(a?b).
例2 已知三点A(1,2,3)，B(2,?1,5)，C(3,2,?5)，求三角形ABC的面积.
???????? 解：?ABC的面积为以AB和AC为邻边的平行四边形面积的一半。
ijk???????????????? AB??1,?3,2?，AC??2,0,?8?,AB?AC?1?32?24i?12j?6k,
20?8?????11???AB?AC?242?122?62?321. 所求面积应为22第三节 空间平面及其方程
在空间坐标系里，我们利用向量可以把空间曲面和三元方程对应起来。若曲面S上任意一点M的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)?0，不在曲面上的点的坐标都不满足这个方程，那曲面S就称为方程F(x,y,z)?0的图形。
例1 求以点M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。
i?z1x1j?x1y1k，
)?(y?y)0?(z?z)0?R 解：设M(x,y,z)为球面上任一点，则M0M?R，即(x?x0方程，不再球面上的点的坐标却不满足这个方程，所以此方程为所求的球面方程。 下面我们来研究最简单的曲面——平面。 一、平面方程
222
两边平方得(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2。可以看出，球面上任一点的坐标都满足这个
1、平面的点法式方程：与平面?垂直的非零向量n称为为平面?的法向量。平面?有无穷
多个法向量。
过空间中的一点只能作一个平面与已知直线垂直，所以当已知平面上一点和平面的法向量时，平面的位置就被确定了。要建立平面方程，就需要找出平面上任一点的坐标应满足的关系式。
设已知平面上一定点P 0(x0,y0,z0)与平面的法向量n??A,B,C?，其中A,B,C不全为零，
????????，作向量P由于P因此必与法向量n垂P(x,y,z)是平面上任一点（图5-3-1）0P，0P在平面上，
????????直。可得n?P，于是 0P?0，而P0P??x?x0,y?y0,z?z0?????n?P0P??A,B,C???x?x0,y?y0,z?z0??0，
即A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，此方程为平面的点法式方程。 例2 设平面过点(1,?2,0)，法向量为n??6,?4,3?，求平面方程。 解：由平面的点法式方程，得所求平面方程为
6(x?1)?4(y?2)?3(z?0)?0。即6x?4y?3z?14?0。
例3 已知A(2,?1,2)与B(8,?7,5)，求通过B且与线段AB垂直的平面方程。
???? 解：因为所求平面与线段AB垂直，所以向量AB就是它的法向量。
???? AB??6,?6,3?,又因为平面过点(8,?7,5)，所以所求平面方程为
6(x?8)?6(y?7)?3(z?5)?0，化简得2x?2y?z?35?0。
2、平面的一般式方程
平面的点法式方程可化为Ax?By?Cz?(?Ax0?By0?Cz0)?0，把常数项
(?Ax0?By0?Cz0)记作D，得Ax?By?Cz?D?0。
可见，任何平面都可用x,y,z的一次方程来表示。 反过来，x,y,z的一次方程是否都表示平面呢？
当一个三元方程中的系数A,B,C不全为零时，它有无穷多组解，设x0,y0,z0是它的一组解，则有等式 Ax0?By0?Cz0?D?0，
由方程Ax?By?Cz?D?0减去上式得A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，它表示过点
(x0,y0,z0)而法向量为?A,B,C?的平面，由此可知，x,y,z的一次方程表示一个平面。所以称方程Ax?By?Cz?D?0为平面的一般式方程。
例4 求过三点(2,3,0)，(?2,?3,4)和(0,6,0)的平面的方程。 解：设所求平面方程为 Ax?By?Cz?D?0，
其中A,B,C,D为待定系数，把已知三点的坐标代入，得方程组
?2A?3B?D?0? ??2A?3B?4C?D?0，
?6B?D?0?解得A??DDD,B??,C??，代入平面方程并化简得3x?2y?6z?12?0。 4623、平面的截距式方程
设平面在三个坐标轴上的截距分别为a,b,c，且a,b,c均不为0（图5-3-2），求这个平面
的方程。
把平面与坐标轴的交点的坐标(a,0,0)，(0,b,0)，(0,0,c)代入平面的一般式方程，得方
?Aa?D?0DDD?程组 ?Bb?D?0，解得A??，B??，C??，代入平面方程，并化简整理得
abc?Cc?D?0?xyz???1，这就是平面的截距式方程。 abc4、特殊情形
1）通过原点或平行于坐标轴的平面没有截距式方程。
2）一般式方程中，若D?0，方程变为Ax?By?Cz?0，x?y?z?0满足此方程，故原点在此平面上。
3）一般式方程中，若C?0，方程变为Ax?By?D?0，法向量为n?(A,B,0)，它在z轴上的投影为零，即n?z轴，故平面平行于z轴（图5-3-3）。同样的，Ax?Cz?D?0， By?Cz?D?0分别表示平行于y轴和x轴的平面。
4）一般式方程中，若A?B?0，方程变为Cz?D?0，法向量n?(0,0,c)在x轴、y轴上的投影均为零，即n垂直于x轴和y轴所在的平面，故平面平行于xOy面（图5-3-4）。同样，
Ax?D?0，By?D?0分别表示平行于yOz面和zOx面的平面。 例5 求过x轴和点M0(4,?3,?1)的平面方程。
解：因为平面过x轴，故设平面方程为By?Cz?0，此平面又过M0(4,?3,?1)，所以有
?3B?C?0，C??3B，代入方程By?Cz?0并消去B，所求方程为y?3z?0。
二、两平面的位置关系：设两平面?1与?2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0，
A2x?B2y?C2z?D2?0，法向量分别为n1??A1,B1,C1?，n2??A2,B2,C2?， 如图5-3-5，两平面?1与?2的夹角就是它们的法向量的夹角及其补角，设两平面的夹角为?和
A?B?C?A?B?C据此可得两平面?1和?2互相垂直的充要条件为A而?1和?2互相平行的1A2?B1B2?C1C2?0，
ABC充要条件为n1//n2，即1?1?1。
A2B2C2例6 求两平面2x?y?z?6?0，x?y?2z?5?0的夹角。
解：设两平面的法向量的夹角为?，则cos两平面的夹角为???1，其中一角?的余弦为cos??n1?n2?n1?n2A1A2?B1B2?C1C2212121222222，?1????。
??2?1?(?1)1??1?22?(?1)221?2?11?2?2221?2，因此，
?3。
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的方程
1、一个非零向量平行于已知直线，则称此向量为该直线的方向向量，显然，方向向量是不唯一的。
2、过空间一点可以且只能作一条直线与已知直线平行。所以直线L上一点P0(x0,y0,z0)和它的一个方向向量s??l,m,n?为已知时，直线的位置就确定了。 我们来建立这条直线的方程。
????????设P(x,y,z)是直线上任一点（图5-4-1），作向量P显然P0P，0P与直线的方向向量s平行。
??????根据数乘向量的定义，可找到数t，使P因为P，Pt?s其中t是参数，00P??x?x0,y?y0,z?z0?所以?x?x0,y?y0,z?z0??t?l,m,n?，
?x?x0?lt?于是有?y?y0?mt，称此式为空间直线的参数方程。
?z?z?nt0?x?x0y?y0z?z0??，即空间直线的标准方程或点向式方程。 lmnx?3z?1?y?例1 求过点P且平行于直线的直线的方程。 (4,?1,3)02?5x?3y?0z?1?? 解：直线的方向量s??2,1,?5?，因为所求直线与它平行，所以向量21?5x?4y?1z?3??。 s就是其方向向量，因此所求的方程为21?5例2 求过两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的直线方程。
????? 解：向量PP12??x2?x1,y2?y1,z2?z1?就是所求直线的方向向量，因此所求直线方程为
从上式中消去t，得
x?x1y?y1z?z1，即空间直线的两点式方程。 ??x2?x1y2?y1z2?z13、直线的一般式方程
我们已经知道一直线可以由过它的两个平面来决定，因此由这两平面方程组成的方程组
?A1x?B1y?C1z?D1?0称为空间直线的一般式方程。 ??A2x?B2y?C2z?D2?0?x?2y?z?4?0例3 把直线的一般式方程 ?化为直线的点向式方程。
5x?y?2z?8?0?解：在直线上任取一点，例如令x?0代入方程组，解得一点(0,0,4)，方向向量
ijks??1,?2,?1???5,1,?2??1?2?1?5i?3j?11k，因此所求直线的点向式方程为
51?2xyz?4??。 5?311二、两直线的夹角以及直线与平面的夹角
两条直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角。
x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2和，它们的????l1m1n1l2m2n2s?sl1l2?m1m2?n1n2夹角余弦为cos??12?，由此可得两直线L1和L2互相
222222s1?s2l1?m1?n1?l2?m2?n2设直线L1和L2的标准方程为
垂直的充要条件为l1l2?m1m2?n1n2?0，而L1和L2互相平行的充要条件（s1//s2）为
l1m1n1??。 l2m2n2?x?2y?z?1?0?x?y?z?1?0例4 求直线?与直线?的夹角。
?x?2y?z?1?0?x?y?2z?1?0解：两直线的夹角就是这两直线的方向向量的夹角及其补角。 两直线的方向向量分别为
i s1?1jkijk21?4i?4k和s2?1?1?1??3i?3j，所以 1?211?1242?02?42?(?3)2?(?3)2?022???? 及 ?1?。
33z?4例5 求直线x?2?y?3?与平面2x?y?z?6?0的夹角。
2coss1,s2?4?(?3)?0?(?3)?(?4)?0??1，因此所求两直线之间的夹角为 2解：空间直线与平面的夹角就是直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余角?以及?的补角（图5-4-2）。已知直线的方向向量为s??1,1,2?，平面的法向量为n??2,?1,1?。
12?12?22?22?(?1)2?12???5为????及?1??????。
2366第五节 曲面及其方程
1、如果曲面S与三元方程F(x,y,z)?0有如下关系
coss,n?1?2?1?(?1)?2?1??1，即 s,n?，因此所求直线与平面的夹角
32 1）曲面S上任一点的坐标都满足方程
2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程 那么，方程F(x,y,z)?0就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x,y,z)?0的图形（图5-5-1）。如果方程对x,y,z是一次的，所表示的曲面称为一次曲面，平面就是一次曲面。如果方程是二次的，所表示曲面称为二次曲面。
2、球面
空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面，定点叫做球心，定距离叫做半径．若球心为Q(a,b,c)，半径为R，设点P(x,y,z)为球面上任一点，由于PQ?R，我们有
2222(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?R，消去根式，得球面方程(x?a)?(y?b)?(z?c)?R。
将球面方程展开x?y?z?2ax?2by?2cz?(a?b?c?R)?0即方程具有
2222222x2?y2?z2?2Ax?2By?2Cz?D?0的形式。反之经过配方，
(x?A)2?(y?B)2?(z?C)2?D?(A2?B2?C2)?0，当A2?B2?C2?D?0时，表示球
心在(?A,?B,?C)，半径为A2?B2?C2?D的球面；