常微分方程课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质
本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，为4学分，总学时为68学时，包括讲课及习题课。
常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。
通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法，了解定性和稳定性的初步理论和方法。并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。
2、教学目的要求
目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。
本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步。
3、先行或后继课程
先行课程：数学分析、高等代数、解析几何，普通物理等。 后继课程：数理方程、微分几何、泛函分析等。
微分方程的发展也离不开实变函数论、复变函数论、拓扑学与代数几何的支援。 4、教学时数分配表
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章节目录 第一章 绪论 第一节 微分方程 某些物理过程的数学模型 第二节 基本概念 第一节 变量分离方程与变量变换 第二章 一阶微分方程的初等解法 第二节 线性方程与常数变易法 第三节 恰当方程与积分因子 第四节 一阶隐方程与参数表示 习题课 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 第一节 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 第二节 解的延拓 第三节 解对初值的连续性和可微性定理 第四节 奇解 第一节 线性微分方程的一般理论 第四章 高阶微分方程 第二节 常系数线性方程的解法 第三节 高阶方程的降价和幂级数解法 习题课 第五章 线性微分方程组 第六章 非线性微分方程和稳定性 第一节 存在唯一性定理 第二节 线性微分方程组的一般理论 第三节 常系数线性微分方程组 习题课 第一节 引言 第二节 相平面 第三节 按线性近似决定微分方程组的稳定性 第四节 李雅普诺夫第二方法 第五节 周期解和极限圈 习题课 总 课 时 数 5、使用教材
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课时分配 2 4 2 4 4 2 2 4 4 2 10 2 2 4 4 12 2 2 2 4 14 4 4 2 2 2 2 2 2 68 10 16 王高雄等编《常微分方程》（第二版式），高等教育出版社，1982。 6、教学方法与手段
本课程以黑板讲授、学生自学、精讲精练相结合的教学方法为主，适当安排习题课与讨论课（主要是对存在唯一性定理以及定性与稳定性理论简介部分）。适当组织1—2个大型的有应用背景的微分方程模型，从建模、求解、到解释，让学生在教师指导下，自己动手，通过讨论，经历全过程，得到一定训练。个别章节辅之以多媒体教学手段或数学实验手段。
在教学过程中，应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。要不断更新教学内容，逐步实现教学内容的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，注重运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。应努力创造条件，尽快开设或引入与理论教学相配套的数学实验课，使学生学会使用常用的数学软件，逐步培养和提高学生用数学软件解决问题的意识和能力。
7、考核方式
本课程为专业必修课，采取闭卷方式进行考试。 8、主要参考书目
常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。 微分方程，Л.Э.艾利斯哥尔兹著，人教出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。 常微分方程，林武忠 等编，科学出版社；
差分方程和常微分方程，阮炯 编，复旦大学出版社； 常微分方程习题解，庄万 主编，山东科学技术出版社； 常微分方程习题集，周尚仁，权宏顺 编，人民教育出版社。
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二、课程内容
第一章 绪论（4课时）
第一节 微分方程：某些物理过程的数学模型（2课时） 1、教学目的和要求
了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型，如冷却过程、质点运动(自由落体，数学摆)、R-L-C回路等。
2、教学要点与知识点
教学要点：某些物理过程的数学模型的思想和例子； 知识点： 把实际问题抽象为常微分方程。 3、教学重点与难点
建立微分方程模型的思想、方法和例子。 第二节 基本概念（2课时） 1、教学目的和要求
理解常微分方程、偏微分方程、常微分方程的阶、线性、非线性、解、隐式解、通解、特解、定解问题、积分曲线、方向场、等斜线等基本概念。
2、教学要点与知识点
教学要点： 微分方程基本概念。
知识点： 常微分方程的解；线性、非线性概念。 3、教学重点与难点 微分方程的基本概念。
第二章 一阶微分方程的初等解法（12+4课时）
第一节 变量分离方程与变量变换（4课时） 1、教学目的和要求：
熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的一阶微分方程的解法（包括通解和满足初始条件的特解），对一些简单的实际问题会建立相应的微分方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：变量分离方程的基本解法与运用变量变换法求解齐次方程。
知识点：变量分离方程；齐次方程。伯努利方程；恰当方程与积分因子；一阶隐方程的解法与解的参数表示法
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3、教学重点与难点
重点：变量分离方程、两类可化为变量分离方程的方程的求解。
难点：利用变量替换思想将某些方程转化为已知类型求解。 4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练掌握变量分离方程的求解方法。注意强调求解过程中可能遗漏的特解，并让学生初步体会到某些方程的初值解未必唯一存在。 第二节 线性方程与常数变易法（4+2课时）
1、教学目的和要求：
掌握一阶齐线性微分方程的基本解法及基本公式；掌握运用常数变易法求解一阶非齐线性微分方程；掌握运用变量变换法化伯努利方程为一阶线性微分方程；记住一阶非齐线性方程的通解表达式.
2、教学要点与知识点：
教学要点：一阶齐线性微分方程；一阶非齐线性微分方程与常数变易法、伯努利方程的解法。
知识点： 一阶非齐线性微分方程与常数变易法； 3、教学重点与难点
重点：掌握一阶齐线性微分方程；一阶非齐线性微分方程的求解方法与常数变易法。
难点：方程类型的判断
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练运用常数变易法求解一阶非齐线性微分方程；对一些简单的实际问题会建立相应的微分方程。
第三节 恰当方程与积分因子（2+2课时） 1、教学目的和要求：
掌握恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法；会用变量代换法、交换x与y的位置、微分与微商转换和寻找积分因子等方法求解非典型的一阶微分方程。掌握一阶隐方程的解法和其参数表示。会求解几种可降阶的高阶方程。了解黎卡蒂方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法； 知识点： 恰当方程的求解方法；积分因子的求法。
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