南京市2018届高三数学考前综合题
一．填空题
1．已知l，m是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l∥α，l∥m，则m∥α；
②若l?α，m?β，α∥β，则l∥m； ③若l?α，m?β，l⊥m，则α⊥β； ④若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】④．
【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断．
2．已知函数f(x)＝3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 2π
【答案】．
3
【提示】因为f(x)＝3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)恒成立，
即3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝3sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ) 展开并整理得(3cosθ＋sinθ)sinx＝0恒成立． 所以3cosθ＋sinθ＝0，即tanθ＝－3，
2π
又θ∈[0，π]，所以θ＝．
3
【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2＝4y焦点的直线l交抛物线于M，N两点，若抛物线在点M，N处x2y2
的切线分别与双曲线C2：2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．
ab【答案】2．
x2y2b
【提示】由双曲线：2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程y＝±x，
aba
b
可得两条切线的斜率分别为±，
a
则两条切线关于y轴对称，则过抛物线C1：x2＝4y焦点(0，1)的直线l为y＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，
即a＝b，于是e＝2．
【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l为y＝1，这是本题的难点． →→→4．已知点P是△ABC内一点，满足AP＝λAB＋μAC，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝ ． 3
【答案】．
8
→1→2→【提示】因为BD＝2DC，所以AD＝AB＋AC
33
mλ＝，
3→→→→由于AP与AD共线，设AP＝mAD，则2m
μ＝，
3
???
11
于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝，μ＝，
843
所以λ＋μ＝．
8
【说明】本题考查平面向量表示，向量基本定理，共线定理以及三点共线的向量表示，本题可用基底法，也
可通过坐标法解决．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，{a2n－1}是公差为d的等差数列，{a2n}是公比为q的等比数列，且a1＝a2＝a，d
S2：S4：S6＝1：3：6，则的值是 ．
aq
【答案】2
【提示】S2＝2a，
S4＝a1＋a3＋a2＋a4＝2a＋d＋a＋aq＝3a＋d＋aq， S6＝a1＋a3＋a5＋a2＋a4＋a6＝3a＋3d＋a＋aq＋aq2＝， 因为S2：S4：S6＝1：3：6，
所以(2a)：(3a＋d＋aq)：(4a＋3d＋aq＋aq2)＝1：3：6，
?d＋aq＝3a，即?所以2aq－aq2＝a． 2
?3d＋aq＋aq＝8a，
因为a≠0，所以2q－q2＝1即q＝1， d
所以d＝2a，从而＝2．
aq
【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算，需要学生有一定的运算能力．
31
6．已知函数f(x)＝－x＋，若直线l1，l2是函数y＝f (x)图像的两条平行的切线，则直线l1，l2之间的距离的最
4x大值是 ． 【答案】2．
【提示】设切线l1，l2的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＞x2，
313131
因为f′(x)＝－－2， 切线l1，l2平行，所以－－2＝－－2，因此有x1＝－x2＞0，
4x4x14x2312312
切线l1，l2的方程分别为y＝(－－2)x＋，y＝(－－2)x＋，
4x1x14x2x2
22|－|x1x2
＝
312
(－－2)＋14x1
425213x＋＋161x122
≤4x1
于是l1，l2之间的距离d＝
312
(－－2)＋14x14
＝2， 53＋22
＝25
当且仅当x1＝时取等号，于是d的最大值为2．
5
【说明】本题考查导数的几何意义，基本不等式，解决问题时要有消元的意识．
x2y2
7．在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与
abb2
圆O：x＋y＝相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则椭圆C的离心率为 ．
4
2
2
【答案】
5． 3
【提示】设椭圆C的左焦点为F1，连接PF1，OQ，
因为Q为线段FP中点，O为线段F1F中点， 所以，PF1＝b，PF＝2a－b，
又OQ⊥PF，所以PF1⊥PF，因此PF12＋PF2＝F1F2，
所以b2＋(2a－b)2＝(2c)2，即b2＋(2a－b)2＝4(a2－b2)，
b25可得＝，所以e＝．
a33
【说明】本题考查椭圆的几何性质，要能运用几何特征简化运算，本题也可以设点求解． 8．实数x，y满足x2＋2xy＋4y2＝1，则x＋2y的取值范围是 ． 2222
【答案】[－，]．
33
t－x
【提示】设x＋2y＝t，则y＝，代入x2＋2xy＋4y2＝1得：x2－tx＋t2－1＝0，
22323
则△＝t2－4(t2－1)≥0，解得－≤t≤．
33
【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：
已知等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，且S2＋2，S3＋4，S4＋6成等比数列，
则公差d的最小值是 ．
转化为关于a1和d的方程，看作关于a1的方程有解，列出关于d的不等式即可，答案－1．
→→→→9．已知AB＝4，点M，N是以AB为直径的半圆上的任意两点，且MN＝2，AM·BN＝1，则AB·MN＝ ． 【答案】6．
→→→→【提示】设圆心为O，则OM·ON＝2，OA·OB＝－4，
→→→→→→于是AM·BN＝(OM－OA)·(ON－OB)
→→→→→→→→＝OM·ON＋OA·OB－OA·ON－OB·OM →→→→＝2－4－OA·ON＋OA·OM
→→ ＝－2－OA·MN
1→→ ＝－2＋AB·MN＝1
2→→所以AB·MN＝6．
【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想．
A B
N
M →→10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，1)，若圆M：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上存在两点A，B使得AP＝2PB，
则r的取值范围是 ． 【答案】(2，32]．
→→ 【提示】设B(x0，y0)，根据AP＝2PB，可得A(3－2x0，3－2y0)， 1232r2
则有(1－2x0)＋(3－2y0)＝r，即(x0－)＋(y0－)＝，
224
2
2
2
r
又(x0－2)2＋y02＝r2，故有r－≤213r
(2－)2＋()2≤r＋，解得：2≤r≤32，
222
易知点P(1，1)在圆(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)内，所以r＞2，
从而r∈(2，32]
【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几
何与代数之间的相互转化．
11．在平面四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值是 ． 【答案】4＋43．
【提示】设△BCD的面积为S，
1π则S＝×4×BC×sin∠BCD＝2BCsin(∠ACD＋)
23
＝BCsin∠ACD＋3BCcos∠ACD
AC2
设∠ADC＝α，则＝，
sinαsin∠ACD
于是ACsin∠ACD＝2sinα，即BCsin∠ACD＝2sinα，
AC2＋42－22AC2＋1222＋42－2×2×4cosα＋12
又BCcos∠ACD＝AC×＝＝＝4－2cosα，
2AC×488π
所以S＝2sinα＋3(4－2cosα)＝4sin(α－)＋43，
35π
从而S的最大值为4＋43，此时α＝．
6
【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建
立函数．
12．已知函数f (x)＝x2－[k2＋(2－a)k＋4－a]x＋1，a，k∈R．对于任意k＞0有：任意x1∈[－1，0]，
任意x2∈[k，k＋2]，f (x1)≥f (x2)成立，则a的最大值是 ． 【答案】22－1．
【提示】由题意知：函数f (x)在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x)在区间[k，k＋2]上的最大值． k2＋(2－a)k＋4－ak＋2
结合函数f (x)的图像可知：对称轴x＝≥，对任意k＞0恒成立，
22k2＋k＋2
即a≤，对任意k＞0恒成立．
k＋1
k2＋k＋222
因为＝k＋＝k＋1＋－1≥22－1，当且仅当k＝2－1时取等号，
k＋1k＋1k＋1
k2＋k＋2
因此当k＞0时，的最小值为22－1，于是a≤22－1，所以a的最大值是22－1．
k＋1【说明】本题的题意为：函数f (x)在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x)在[k，k＋2]上的最大值．在这里不
必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．
D
A C
B
13．已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值
为 ． 1
【答案】ln3－．
3
【提示】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图像，
不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．
a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3交点的纵坐标最小．
根据图像可知：a＋b的最小值为ln3，此时直线y＝a(x－2)＋b与曲线y＝lnx相切于点(3，ln3)，
11
因此有：a＝，从而b＝ln3－．
33
【说明】复杂的函数问题要善于数形相互转化，利用图像快速解决问题．
?f (x)，f (x)≥g (x)，
14．已知函数f (x)＝x3－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝?有三个零点，则实数a的取值
?g (x)，f (x)＜g (x)，
范围是 ． 35
【答案】a＞．
18
【提示】易得f'(x)＝3x2－a．
当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意． 当a＞0时，令f'(x)＝3x2－a＝0，解得x＝±易得函数f(x)在(－∞，－
a)，(3
a， 3
a，3
a
)上单调递减， 3
a
，＋∞)上单调递增，在(－3
在同一坐标系中，分别作出函数f (x)，g (x)的图像，根据图像可知：
当f(
a
)＞0时，F(x)有且仅有一个零点；当f(3
a
)＝0时，F(x)有且仅有一个零点； 3
2
f()≥0，32a
)＜0时，要使得F(x)有三个不同的零点，则f()＜0或者
3a23
＜，33
当f(
???
35
解得a＞．
18
【说明】本题考查函数的零点问题，应用数形结合，函数与方程的思想方法，分段函数的图象性质来解决两
个函数取大后的零点问题．
二．解答题
15．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f '(x)是f(x)的导函数．
（1）求函数F(x)＝f(x)f '(x)＋3f 2(x)的最大值和最小正周期；
π
（2）若f(x)＝2f '(x)，求sin(2x＋)的值．
4解：（1）因为f'(x)＝cosx－sinx，
所以F(x)＝f(x)f'(x)＋3f 2(x)＝cos2x－sin2x＋3＋23sinxcosx
π
＝3＋3sin2x＋cos2x＝3＋2sin(2x＋)．
6πππ
所以当2x＋＝＋2kπ，即x＝＋kπ(k∈Z)时，F(x)max＝3＋2．
626