2π
函数F(x)的最小正周期为T＝＝π．
2
1
（2）因为f(x)＝2f'(x)，所以sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即cosx＝3sinx，故tanx＝．
3
cos2x－sin2xπ222sinxcosx
于是sin(2x＋)＝(sin2x＋cos2x)＝(2＋) 422sinx＋cos2xsin2x＋cos2x
2
1－tan2x22tanx22tanx＋1－tanx
＝(＋)＝· 21＋tan2x1＋tan2x21＋tan2x
112×＋1－()2
33272＝·＝． 21210
1＋()3
【说明】本题考查三角恒等变换以及三角函数的简单性质，注意公式和性质的熟练掌握．
→→·→16．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)→BC·BA＋cCACB＝0． （1）求角B的大小；
→→（2）若b＝23，试求AB·CB的最小值． →→→→解：（1）因为(2a＋c)BC·BA＋cCA·CB＝0，
所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0． 由正弦定理得(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0， 即2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0，亦即2sinAcosB＋sinA＝0，
1
因为sinA≠0，故cosB＝－．
22π
因为B∈(0，π)，所以B＝．
3
2π
（2）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，即12＝a2＋c2＋ac．
3
因为12＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤4，
2π1→→所以AB·CB＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时取等号，
32
→→所以AB·CB的最小值为－2．
【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂． 17．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2AP＝2，PD＝3．
P
求证：（1）PA⊥平面PCD；
（2）求点C到平面PBD的距离．
（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以CD⊥平面PAD．
又AP?平面PAD，所以CD⊥AP．
A
B
D C 因为底面ABCD为正方形，AB＝2，所以AD＝2．
因为AP＝1，PD＝3，所以AP2＋PD2＝AD2，因此AP⊥PD．
又CD⊥AP，PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD，所以PA⊥平面PCD．
（2） 解：设点C到平面PBD的距离为h．
由（1）知CD⊥平面PAD，因为PD?平面PAD，所以CD⊥PD． 1113
V三棱锥B－PCD＝S△PCD·PA＝×(×2×3)×1＝．
3323因为AB∥CD，所以PD⊥AB．
由（1）知AP⊥PD，又AP∩AB＝A，AP，AB?平面APB，所以PD⊥平面APB． 又PB?平面APB，所以PD⊥PB．
因为底面ABCD为正方形，且边长为2，所以BD＝22，又PD＝3，所以PB＝5．
11115
于是V三棱锥C－PBD＝S△BPD·h＝×(×3×5)h＝h．
332625153
因为V三棱锥B－PCD＝V三棱锥C－PBD，所以h＝，解得h＝．
563
25
即点C到平面PBD的距离为．
5
【说明】考查直线与平面位置关系的判断；考查空间几何体体积的计算，点到平面距离的计算．
18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，相距2千米，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时
的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．
（1）若v＝12，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，
试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m＜t)小时后，再游泳匀速直线追赶小
船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值． 解：（1）设运动员游泳速度为x千米/小时，
2×12tcos30°由题意可知(xt)＝2＋(12t)－2×， 42432
整理得x2＝2－＋144＝(－63)2＋36.
ttt12
由于0＜t≤，所以≥8，
4t
23
所以，当＝63即t＝时，x2取得最小值36，即x最小值为6.
t9答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时. （2）由题意知[8(t－m)]2＝(16m)2＋(vt)2－2×16m ×vt cos30°，
mm
两边同除以t2得：192()2＋(128－163v)＋v2－64＝0
tt
A 30° 岸边
B
2
2
2
C
m
设＝k，0＜k＜1， t
则有192k2＋(128－163v)k＋v2－64＝0，其中k∈(0，1)，
即关于k的方程192k2＋(128－163v)k＋v2－64＝0在(0，1)上有解， 则必有△＝(128－163v)2－4×192×(v2－64)≥0， 163 解得0＜v≤，
3
1631163当v＝时，可得k＝∈(0，1)，因此v为最大值为.
333163
答：小船的最大速度为千米/小时. 3
【说明】本题利用余弦定理解决简单的三角形问题，其中第二问，需要注意的是：要能利用方程有解，求参
数的最值． 19.某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r的半球体.设计要求，蓄水池总体积为
64π3
m，且h≥2r.经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，下3
方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y千元. （1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y最小时，求半径r的值. 1464π
解：（1）由题意知πrh＋×πr3＝，
233
2
r r 232
故h＝(2－r)，
3r由于h≥2r，
232
因此(2－r)≥2r，解得0＜r≤2，
3r
h
128π
所以建造费y＝2πr2c＋(2πrh＋πr2)×3＝π(2c－1)r2＋，定义域为(0，2].
r 64
2π(2c－1)(r3－)
2c－1
（2）由（1）得y′＝，
r2649
当≥8即3＜c≤时，y′≤0恒成立，
22c－1 此时函数y＝π(2c－1)r2＋
128π
在(0，2]上单调递减，因此r＝2时，总建造费用y最小； r
3
649
当＜8即c＞时，令y′＝0得r＝22c－1
3
64
∈(0，2)， 2c－1
当0＜r＜
64
时，y′＜0；当2c－1
3
64
＜r＜2时，y′＞0， 2c－1
128π
所以函数y＝π(2c－1)r2＋在(0，
r
3
3
64
)上单调递减，在(2c－1
3
64
，2)上单调递增， 2c－1
所以r＝64时，总建造费用y最小. 2c－1
9
综上所述，当3＜c≤时，总建造费用y最小时，r＝2m；
2
9
当c＞时，总建造费用y最小时，r＝2
【说明】注意解决应用题时必要的讨论．
20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为
第2区，…，50(n－1)米至50n米的圆环面为第n区，n∈N*，n≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n区减少2%，n∈N*．设第n区火山灰的总重量为an，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．
解：（1）设第n区火山灰平均每平方米的重量为bn千克，则bn＝1000(1－2%)n1＝1000×0.98n1．
－
－
3
64m. 2c－1
设第n区的面积为cn平方米，
则当n≥2时，cn＝π502n2－π502(n－1)2＝2500π(2n－1)，
又c1＝2500π＝2500π(2×1－1)， 因此cn＝2500π(2n－1)，n∈N*．
所以第n区内火山灰的总重量为an＝bncn＝25×105π(2n－1)×0.98n1(千克)．
－
（2）an＋1－an＝25×105π(2n＋1)×0.98n－25×105π(2n－1)×0.98n
＝25×105π[(2n＋1)×0.98－(2n－1)]×0.98n1
－
－1
＝25×105π(－0.04n＋1.98)×0.98n1．
－
当1≤n≤49时，an＋1－an＞0，即an＜an＋1， 当n≥50时， an＋1－an＜0，即an＞an＋1， 所以，当n＝50时，an最大． 答：第50区火山灰的总重量最大．
【说明】关注数列应用题．
21．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O
上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O1的标准方程；
（2）求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；
（3）已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d
＝2，求证：直线l过定点． d1
解：（1）由题设得圆O1的半径为4，所以圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16．
949
（2）x＝5，y＝－x＋．
408（3）设直线l的方程为y＝kx＋m，则O，O1到直线l的距离分别为h＝从而d＝2
(m)264－，d＝2
1＋k21
(9k＋m)216－．
1＋k2|m|
|9k＋m|，h＝， 1
1＋k21＋k2m2
64－
1＋k2dd2
由＝2，得2＝＝4， d1(9k＋m)2d1
16－1＋k2整理得m2＝4(9k＋m)2，故m＝±2(9k＋m)， 即18k＋m＝0或6k＋m＝0，
所以直线l为y＝kx－18k或y＝kx－6k， 因此直线l过定点(18，0)或直线l过定点(6，0)．
【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论．
x2y2
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且两焦点F1，F2与
ab
椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；
1
（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为－，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．
2
①求AB＋CD的值；
②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．
x22
解：（1）＋y＝1．
2（2）①设AB的直线方程为y＝k(x－1)．
k(x－1)，??y＝2
联立?x消元y并整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 2
?2＋y＝1，?2k2－24k2
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
1＋2k21＋2k222＋22k2
于是AB＝1＋k|x1－x2|＝1＋k×(x1＋x2)－4x1x2＝，
1＋2k21
22＋22(－)2
2k42k2＋2
同理CD＝＝，
122k2＋1
1＋2(－)2k
22222＋22k242k2＋2
于是AB＋CD＝＋＝32．
1＋2k22k2＋1
－k2k21k
②由①知xM＝， 2，yM＝2，xN＝2，yN＝1＋2k1＋2k1＋2k1＋2k2－k2k21k所以M()， 2，2)，N(2，1＋2k1＋2k1＋2k1＋2k2