（1）求证：任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1；
（2）求证：任意n∈N*，a2n a2n＋2为整数．
证明：（1）因为a3＝a2＋a1，因此n＝1时，命题成立；
假设n＝k时，命题成立，即a2k＋1＝a2k＋a2k－1， 则a2k＋3＝a2k＋2＋a2k＋a2k－1＝a2k＋2＋a2k＋1， 即n＝k＋1时，命题也成立，
因此任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1．
（2）易知a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，a5＝6，a6＝9，a7＝15，a8＝25， a2a4＝2，a4a6＝6，a6a8＝15， 猜想a2na2n＋2＝a2n＋1，n∈N*， 证明：当n＝1时，命题成立；
假设n＝k时，命题成立，即a2ka2k＋2＝a2k＋1， 则a2k＋2a2k＋4＝a2k＋2(a2k＋3＋a2k＋1＋a2k)
＝a2k＋2(a2k＋2＋a2k＋1＋a2k＋1＋a2k) ＝a2k＋22＋2a2k＋1a2k＋2＋a2ka2k＋2 ＝a2k＋22＋2a2k＋1a2k＋2＋a2k＋12 ＝a2k＋2＋a2k＋1 ＝a2k＋3，
即n＝k＋1时，命题也成立，
所以a2na2n＋2＝a2n＋1，n∈N*，
又a2n＋1∈N*，因此任意n∈N*，a2na2n＋2为正整数．
【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．进而得到a2n a2n＋2为整数．
30．已知m∈N*，数列T：a1，a2，a3，…，a3m＋1满足如下条件： ①a1，a2，a3，…，a3m＋1是1，2，3，…，3m＋1的一个全排列；
②数列a1，a2，a3，…，a3m＋1的前n(1≤n≤3m＋1，n∈N*)项和Sn均不能被3整除． （1）当m＝1时，写出所有符合条件的数列T； （2）求满足条件的数列T的个数f (m)．
解：（1）满足条件的数列T有：
1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；
4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；
（2）设an (1≤n≤3m＋1，n∈N*)除以3的余数为为bn，
于是数列T的前n项和能否被3整除，由数列{bn}：b1，b2，…，b3m＋1决定， 因为数列{bn}中有m个0，m＋1个1，m个2，
因此数列{bn}中由m＋1个1及m个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2． 数列{bn}中的m个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C3mm种排法， (3m)!m!(m＋1)! 故满足条件的数列T共有：C3mm!×m!×(m＋1)!＝个， m×(2m)!(3m)!m!(m＋1)! 因此f (m)＝．
(2m)!
【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．