解得 c?1 或 c??7(负值舍去), -----9分
????????2向量BA在BC方向上的投影为BAcosB? -----12分
219解：（解法一）（1）取PB的中点，连FG,由题设FG//BC,FG??AE//BC,AE?1BC?FG//AE 2P1BC -----1分 2AEFG是平行四边形,所以 EF//AG---2分
G BFAE?面PAB,EF?面PAB?EF//面PAB
C------------------------4分 （2） ??PAB是等边三角形，AG?PB----------------① ?ABD中，AD?2AB,?BAD?600,由余弦定理??ABD?900AEDBD2?AB2?AD2?2AB?AD?cos600?AD2?AB2 所以 BD?AB-------6分
又?面PAB?面ABCD,面PAB?面CD?AB,BD?面ABCD?DB?面PAB 又?AG?面PAB
DB?AG-------------②
---------------------7分
由 ①②可知，AG?PB,AG?BD，PB?BD=B?AG?面PBD
又EF//AG,?EF?面PBD-----------------------------------------8分
(3)取PA 的中点N,连BN,DN
?PAB是等边三角形?BN?PA
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?Rt?PBD?Rt?ABD?PD?AD ?DN?PA
?ANB??是二面角D?PA?B
的平面角 ----------------------------11分
由 （2）知 BD?面PAB,BD?BN
在Rt?DBN中，BD?3AB?2BN
tan??5BD5?2,cos??即二面角D?PA?B的余弦值为---------------12分
5BN5（本题也可使用三垂线定理证明DN?PA）
（解法二） （1）
?ABD中，AD?2AB,?BAD?600,由余弦定理BD2?AB2?AD2?2AB?AD?cos600?AD2?AB2 所以 BD?AB ??ABD?900面PAB?面ABCD,BD?AB?DB?面PAB ????????建系{BA,BD,z}令 AB?2
A?2,0,0?,D0,23,0,P1,0,3,C?2,23,0
APz F??????BCDE????1????????13x EF?AP?DC??3,0,3??3,0,1
222??????????因为平面PAB的法向量 n2??0,1,0?，EF?n2?0?EF//面PAB---------4分
???????y ????????(2)BD?0,23,0,BP?1,0,3
???????????????????EF?BD?0,EF?BP?0 EF?BD,EF?BP?EF?面PBD---------8分 ??????????(3) 设平面PAD的法向量为n1??x1,y1,z1? AP??1,0,3,AD??2,23,0
??????????????n1?AP??x?3z?0 令x?3所以n1??????????n1?AD??2x?23y?0???平面PAB的法向量 n2??0,1,0?
?3,1,1 ---------10分
??????51cos?n1,n2??，即二面角D?PA?B的余弦值为 ---------12分
5520.解：（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn?2an?1
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当n?1时，a1?S1?2a1?1，∴a1?1
当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2an?1)?(2an?1?1)?2an?2an?1， ∴an?2an?1 ，即 an?2 an?1∴数列{an}是以a1?1为首项，2为公比的等比数列，
∴an?2n?1，Sn?2n?1 -----3分 设{bn}的公差为d，b1?a1?1，b4?1?3d?7，∴d?2
∴bn?1?(n?1)?2?2n?1 --------5分 （2）cn?11111??(?) bnbn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?111111111n∴Tn?(1????...? -----7分 ?)?(1?)?23352n?12n?122n?12n?11?1?1∵n?N*, ∴Tn??1??? -----8分
2?2n?1?2∵Tn?Tn?1?nn?11???02n?12n?1?2n?1??2n?1? 1∴数列{Tn}是一个递增数列 ∴Tn?T1?. -----11分
311 综上所述，?Tn?-----12分
32 21.解：∵f?x??x?x2?ax?3?,x?R
∴f??x??3x2?2ax?3.………………………………………………1分
?1? （1）依题意，f?????0,
?3?12即?a?3?0.?a?4, 33∴f?x??x3?4x2?3x.令f??x??3x2?8x?3?0,
1得x1??,x2?3.则当x在［1，4］上变化时，f??x?与f?x?变化情况如下表：
3x 1 （1，3） 3 （3，4） 4 第 8 页 共 11 页
f??x? —6 — 减 0 —18 + 增 —12 f?x? ∴f?x?在?1,4?上的最大值是f?1???6.……………………………………4分
（2）∵f?x?在?1,???上是增函数，
∴在?1,???上恒有f??x??0，即3x2?2ax?3?0在?1,???上恒成立.
3?1?即a??x??在?1,???上恒成立.
2?x??3?1??∴只需a???x????x?1?即可. …………………………………6分
x??min?2??3?1??3而当x?1,??x?????1?1??0.
x??min2?2?∴a?0.………………………………………………………………………8分
（3）函数g?x??bx的图象与函数f?x?的图象恰有3个交点，
即方程x3?4x2?3x?bx恰有3个不等实根.………………………………9分 ∴x3?4x2?3x?bx?0,
∴x=0是其中一个根，…………………………………………………………10分 ∴方程x2?4x?3?b?0有两个非零不等实根.
????16?4?3?b?>0∴? ???3?b?0∴b>?7且b??3.
∴存在满足条件的b值，b的取值范围是??7,?3????3???.?????????22. 解：(1)连接AF1，因为AB?AF2，BF1=F1F2，所以
……………12分
AF1?F1F2,即a=2c,故椭圆的离心率为e?1； ……………2分 2(2)由（1）知e?径r?1?1??3??1?，得F2?a,0?，B??a,0?，Rt?ABF2的外接圆圆心为F1??a,0?，半2?2??2??2?1F2B?a， 2第 9 页 共 11 页
因为过A、B、F2三点的圆与直线l:x?3y?3?0相切，
所以：
1?a?32 ?a，解得：a=2，?c=1,b?3. 2x2y2所以所求椭圆方程为：??1. ……………6分
43（3）由（2）知F2?1,0?，设直线l的方程为：y?k(x?1),
?x2y2?1??由 ?4 得：?3?4k2?x2?8k2x?4k2?12?0. 3?y?k(x?1)?因为直线l过F2点，所以??0 恒成立.
8k24k2?12,x1x2?设M?x1,y1?、N?x2,y2?，由韦达定理得： x1?x2?，……8分
3?4k23?4k2所以y1?y2?k?x1?x2?2???6k. 23?4k?4k2?3k?,故MN中点为?. ……………10分 22??3?4k3?4k?当k?0时，MN为长轴，中点为原点，则m?0； ……………11分
3k1?4k2????x?当k?0时，MN中垂线方程为y??.
3?4k2k?3?4k2?k21331?令y?0，得m?.因为所以. ?0,?4?4,0?m?22233?4kkk4?42k第 10 页 共 11 页
……………13分
?1?综上可得实数m的取值范围是?0,?. ……………14分
?4?
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