2013-2017高考真题分类汇编
第五章 平面向量
第一节 平面向量的线性运算及其坐标表示
题型59 向量的概念及共线向量
1.（2016北京理4）设a,b是向量，则“a?b”是“a+b?a?b”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1. D 解析 因为所以由此可知，“
a+b?a?b?a+b?a?b?a?b?0，
22a?b”是“a+b?a?b”的既不充分也不必要条件.故选D.
题型60 平面向量的线性表示
1.（2013浙江理17）设e1,e2为单位向量，非零向量b?xe1?ye2,x,y?R，若e1,e2的夹角为
π|x|的最大值等于________. ，则6|b|2.（2014 浙江理 8）记max?x,y???量，则（ ）.
yy?x,x…?y,x…，min?x,y???，设a,b为平面向
?y,x?y?x,x?y A.mina?b,a?b?mina,b B. mina?b,a?b…mina,b
????
????? D.maxa?b? C.maxa?b2,a?b2?a2?b2
2222?b
?,a?b?…a题型61 向量共线的应用
AD?1.（2013江苏10）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，
12AB，BE?BC，23若DE??1AB??2AC（?1，?2为实数），则?1??2的值为 . 2．（2015全国2理13）设向量a,b不平行，向量?a+b与a+2b平行，则实数
?? ．
2.解析 根据向量平行的条件，因为向量?a?b与a?2b平行，
1
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1?k?????k，1?2所以?a?b=k?a?2b?，则有?解得?，所以??．
2?1?2k,???1??23.（2017全国3理12）在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与
BD相切的圆上．若AP??AB??AD，则???的最大值为（ ）.
A．3
B．22
C.5
D．2
3.解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD与C切于点E，联结CE．以点
A为坐标原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则点C坐标为
(2,1)．因为|CD|?1，|BC|?2．所以BD?12?22?5．因为BD切C于点E．所以CE⊥BD．所以CE是Rt△BCD斜边BD上的高．EC?2S△BCDBD即C的半径为12??BC?CD225，
?2??BD5542522．因为点P在C上．所以点P的轨迹方程为(x?2)?(y?1)?．
55?25x?2?cos??0?5设点P的坐标为(x0,y0)，可以设出点P坐标满足的参数方程?，
25?y?1?sin?0?5?而AP?(x0,y0)，AB?(0,1)，AD?(2,0)． 因为AP??AB??AD??(0,1)??(2,0)?(2?,?)， 所以??1525x0?1?cos?，??y0?1?sin?． 25522?25??5?255 两式相加得????1?sin??1?cos??2???5?????5??sin??????55????2?sin(???)≤3 (其中sin??5，cos??25)，
55当且仅当??yBEA(O)Pπ?2kπ??，k?Z时，???取得最大值为3．故选A. 2C
xD 2
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解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得???的最大值为3.
Dλ+μ=2Cλ+μ=3AB
b满足a?1，b?2，2.(2017浙江理15)已知向量a，则a?b?a?b最大值是 .
的最小值是 ，
解析 解法一：如图所示，a+b和a?b是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线，则a?b?a?b?2a?b22?22??10，A是以O为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的
平行四边形AOBD，平行四边形ECOA．所以a+b?a?b?AB?AC． 易知当A，B，C三点共线时，AB?AC最小，此时AB?AC?BC?4； 当AO?BC时，AB?AC最大，此时AB?AC?2AB?25．
DaBba+bOAa-bCE解法二:
?a?b?a?b?2a?b2?a?b?a?b?2a?ba?b?22?22??2a2?b2?2abcos?a2?b2?2abcos??10?25?4cos?5?4cos??10?225?16cos2?(?是向量a，b的夹角).
22所以当cos??1时，a?b?a?b取得最小值4；当cos??0时，a?b?a?b取得
最大值25. 3
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题型62 平面向量基本定理及应用
1.(2013天津理12）在平行四边形ABCD中，AD?1， ?BAD?60?，E为CD的中点． 若
AD·BE?1， 则AB的长为 ．
2．（2013江西理12）设e1，e2为单位向量．且e1，e2的夹角为
π，若a?e1?3e2，b?32e1，则向量a在b方向上的射影为 ．
3．（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
AB?AD??AO，则??____________．
4.（2014 大纲理 4） 若向量a,b满足：a?1，?a?b??a，?2a?b??b，则b?（ ）. A．2 B．2 C．1 D．
2 25.（2014 广东理 5）已知向量a??1,0,?1?,则下列向量中与a成60?夹角的是（ ）. A．??1,1,0? B. ?1,?1,0? C. ?0,?1,1? D. ??1,0,1?
?BAD6.（2014 天津理 8）已知菱形ABCD的边长为2，
上， BE??BC，DF??DC.若AE?AFA.
120，点E,F分别在边BC,DC1，CE?CF-2，则????（ ）. 31257 B. C. D. 236127.（2014 新课标2理3）设向量a,b满足a?b?10，a?b?6，则a?b?（ ）. A.1 B.2 C.3 D.5 8.（2014 江苏理 12）如图，在平行四边形ABCD中，已知
D P C
AB?8，AD?5，CP?3PD，AP?BP?2，则AB?AD的
值是 ．
9.（2014 江西理 14）已知单位向量e1与e2的夹角为?，且
A
B 1cos??，向量a?3e1?2e2与b?3e1?e2的夹角为?，则cos?? .
3uuuruuurπ10.（2014 山东理 12）在△ABC中，已知AB?AC?tanA，当A?时，△ABC的面
6积为 .
11.（2014 新课标1理15）已知A,B,C是圆O上的三点，若AO?与AC的夹角为 .
4
1AB?AC，则AB2??2013-2017高考真题分类汇编
12．（2015全国1理7）设D为△ABC所在平面内一点，BC?3CD，则（ ）.
1414AB?AC B．AD?AB?AC 33334141C．AD?AB?AC D．AD?AB?AC
33331112．解析 由题可得BC?AC?AB，所以CD?BC?AC?AB，
33141所以AD?AC?CD?AC?AC?AB?AC?AB．故选A．
333A．AD??????13．（2015北京理13）在△ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC. 若MN?xAB?yAC，则x? ；y? .
13．解析 在△ABC中，点M满足AM?2MC，点N满足BN?NC， 则MN?MC?CN?因此x?111111AC?CB?AC?AB?AC?AB?AC， 323226??11，y??.
62AMBNC
ruuuuuuruuuruuuruuur14.（2016四川理10）在平面内，定点A，B，C，D满足DA?DB?DC，DA?DBruuuruuuuuur2uuuruuuruuuruuuruuur=DB﹒DC=DC﹒DA=?2，动点P，M满足AP=1，PM?MC，则BM的最大
值是（ ）. A.
37?6337?2334349 B. C. D.
4444ouuuruuuruuur14.B 解析 甴已知易得?ADC??ADB??BDC?120，DA?DB?DC?2.
以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则A?2,0?，B?1,?3，C?1,3.
2设P(x,y)，由已知PA?1，得?x?2??y?1.
????uur2 5