1.3 函数的基本性质
【入门向导】 数学与科技 根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．太阳能呢？
从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大．
解读函数的单调性
一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质
1．这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．
2
2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y＝x－2x＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．
??1，x为有理数，
3．有的函数无单调性．如函数y＝?它的定义域是(－∞，＋∞)，
??0，x为无理数，
2
但无单调性可言，又如y＝x＋1，x∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．
二、单调性的证明与判断
函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：
(1)取值：定义域中x1，x2的选取，选取x1，x2时必须注意如下三点：
①x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x1，x2；
②x1与x2有大小，一般规定x1 (3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f(x2)－f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)－f(x1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号． (4)定号：根据变形结果，确定f(x2)－f(x1)的符号． 1 (5)判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论． 3 例1 证明：函数y＝x(x∈R)是增函数． 证明 设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1 322 f(x1)－f(x2)＝x31－x2＝(x1－x2)(x1＋x1x2＋x2) 1232 ＝(x1－x2)[(x1＋x2)＋x2]． 24 ∵x1 1232 易得(x1＋x2)＋x2≥0. 24 1??x1＝－x2， 2∵上式等于零的条件是???x2＝0， 1232 即x1＝x2＝0，显然不成立，∴(x1＋x2)＋x2>0. 24 ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 3 ∴函数y＝x(x∈R)是增函数． 三、单调区间的求解 1．本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法) 2．书写单调区间时，注意区间端点的写法． 对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”． 函数奇偶性学法指导 一、学习要点 1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f(x)的奇偶性． (2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． 2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?f?－x? ＝±1(f(x)≠0)． f?x? 3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法． 4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 5．在公共定义域内： (1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数． (2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数． 以上两条同学们可以自行验证． 6．设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数． 7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反． 2 二、典型例题选析 2 例2 当a，b，c满足什么条件时，函数f(x)＝ax＋bx＋c是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数． 解 (1)若是奇函数，应有f(－x)＝－f(x)， 22 于是有ax－bx＋c＝－ax－bx－c， 2 即ax＋c＝0对定义域内所有实数都成立， 所以只有a＝c＝0. (2)若是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，于是有 ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c， 即2bx＝0对定义域内所有实数都成立， 所以只有b＝0. (3)若既是奇函数又是偶函数， 则由(1)和(2)知a＝b＝c＝0. (4)若是非奇非偶函数，则f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)， ?ax－bx＋c≠－ax－bx－c，?即?22 ??ax－bx＋c≠ax＋bx＋c??ax＋c≠0，?? ?bx≠0? 22 2 ??a≠0或c≠0， ?? ?b≠0.? 所以a≠0且b≠0或c≠0且b≠0时， f(x)为非奇非偶函数． 53 例3 已知f(x)＝ax＋bx＋cx－8，且f(－2)＝10，求f(2)的值． 53 解 令g(x)＝f(x)＋8＝ax＋bx＋cx， 显然g(x)是奇函数，即g(－2)＝－g(2)． 又g(－2)＝f(－2)＋8＝18， 所以f(2)＝g(2)－8＝－26. 判断函数奇偶性的常见错误 一、忽略定义域出错 x4－x3 例4 判断f(x)＝的奇偶性． 1－xx4－x3x3?1－x?3 错解 因为f(x)＝＝＝x， 1－x1－x显然f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 剖析 判断函数奇偶性，首先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f(x)与f(－x)之间的关系． 正解 函数的定义域为{x|x≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数． 二、忽视对参数的讨论 2 例5 判断函数f(x)＝x＋|x－a|＋1(a∈R)的奇偶性． 错解 显然函数定义域为R. 22 因为f(a)＝a＋1，f(－a)＝a＋2|a|＋1， 所以f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)， 所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 剖析 此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a＝0这种特殊情形，以致解题出错． 正解 当a＝0时， 2 函数f(－x)＝(－x)＋|－x|＋1 2 ＝x＋|x|＋1＝f(x)， 3 此时f(x)为偶函数；当a≠0时， f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1， f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)， 此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 三、忽视特殊函数f(x)＝0的存在 22 例6 判断函数f(x)＝1－x＋x－1的奇偶性． 错解 定义域为{－1,1}，关于原点对称． 22 又f(－x)＝1－?－x?＋?－x?－1 22 ＝1－x＋x－1＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． 剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f(x)＝0，既是奇函数又是偶函数． 正解 函数定义域为{－1,1}，此时f(x)＝0， 因而f(x)既是奇函数又是偶函数． 四、不明分段函数奇偶性概念致错 x＋2x＋3， x<0，?? 例7 判断f(x)＝?3， x＝0， ??－x2＋2x－3 x>0， 2 的奇偶性． 错解 当x>0时，－x<0， f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 2 ＝－(－x＋2x－3)＝－f(x)． 当x<0时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 2 ＝－(x＋2x＋3)＝－f(x)． 所以f(x)是奇函数． 剖析 尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 断函数单调性的方法 一、用定义证明函数的单调性 例1 证明：函数f(x)＝－x在定义域上是减函数． 证明 f(x)＝－x的定义域为[0，＋∞)， 设0≤x1 且f(x2)－f(x1)＝(－x2)－(－x1)＝x1－x2 ?x1－x2??x1＋x2?x1－x2＝＝， x1＋x2x1＋x2 ∵x1－x2<0，x1＋x2>0， ∴f(x2)－f(x1)<0， 即f(x2) ∴f(x)＝－x在定义域[0，＋∞)上是减函数． 点评 (1)有的同学认为由0≤x1 4 (2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法． 例2 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当0 分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用． 解 设x1，x2∈(0，＋∞)且x1 则f(x1)－f(x2)＝f(·x2)－f(x2) x1x2 x1x2 ∵x1，x2∈(0，＋∞)且x1 x1x1 ∴0<<1，∴f()>0. x2x2 ∴f(x1)>f(x2)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数． ＝f()＋f(x2)－f(x2)＝f()． 二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性 2 －x＋a例3 求函数f(x)＝(a>0)的单调区间． x1 x2 xa1 分析 此函数可化为f(x)＝－x＋，可根据y＝的单调性判断． xx－x＋aa解 f(x)＝＝－x＋. 2 xx∵a>0，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， axy＝－x在R上单调递减， 2 －x＋a∴f(x)＝(a>0)的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． x点评 运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处： ①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)在相对应的区间上的单调性相反． 1 ②当f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f(x)在相对应的区间上的单调性相 f?x? 反． ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等． 三、图象法 2 例4 求函数y＝－x＋2|x|＋3的单调区间． 分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出． 22 解 当x≥0时，y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4； 当x<0时， y＝－x2－2x＋3 2 ＝－(x＋1)＋4. 画出图象如图所示： 故在(－∞，－1]和[0,1]上，函数是增函数； 在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数． 5