函数单调性的应用
一、比较大小
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例5 若函数f(x)＝x＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．
解 依题意可知f(x)的对称轴为x＝2， ∴f(－1)＝f(5)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴f(2) 点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大； (2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间． 二、解不等式 例6 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且f(t－1) －1 解 依题意可得?－1<1－2t<1， ??t－1<1－2t， 2 解得0 点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式； (2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围； (3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错． 三、求参数的值或取值范围 3 例7 已知a>0，函数f(x)＝x－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围． 解 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 33 Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2－ax2)－(x1－ax1) 22 ＝(x2－x1)(x1＋x1x2＋x2－a)． 22 ∵1≤x1 22 显然不存在常数a，使(x1＋x1x2＋x2－a)恒为负值． 又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数， 22 ∴必有一个常数a，使x1＋x1x2＋x2－a恒为正数， 22 即x1＋x1x2＋x2>a. 22 当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1＋x1x2＋x2>3， ∴a≤3.此时， ∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0， 即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴a的取值范围是(0,3]． 四、利用函数单调性求函数的最值 x2＋2x＋a例8 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． x(1)当a＝4时，求f(x)的最小值； 1 (2)当a＝时，求f(x)的最小值； 2 (3)若a为正常数，求f(x)的最小值． 6 4 解 (1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上 x是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6. 11 (2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2. 22x易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数． 7 ∴f(x)min＝f(1)＝. 2 (3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，a]上是减函数， 在[a，＋∞)上是增函数． 若a>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增， ∴f(x)min＝f(a)＝2a＋2. 若a≤1，即0 五、利用函数单调性证明不等式 例9 已知a，b，c均为正数，且a＋b>c. 求证： ＋>. 1＋a1＋b1＋caxabc证明 设f(x)＝(x>0)， 1＋x设0 xx1x2 － 1＋x11＋x2 x1－x2 <0. ?1＋x1??1＋x2?∴f(x1) ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)， a＋bc即>. 1＋a＋b1＋cabab又f(a)＋f(b)＝＋>＋ 1＋a1＋b1＋a＋b1＋a＋ba＋b＝， 1＋a＋babc∴＋>. 1＋a1＋b1＋c点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式． 判断函数奇偶性的方法 函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略．现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考． 一、定义法 首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f(－x)＝f(x)(符合为偶函数)或f(－x)＝－f(x)(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数． 2 4－x例10 判断函数f(x)＝的奇偶性． |x＋3|－3 7 解 要使函数有意义， 2 ??4－x≥0，则? ?|x＋3|－3≠0，? 解得－2≤x≤2且x≠0， 此函数的定义域[－2,0)∪(0,2]关于原点对称，且满足x＋3>0， 224－x4－x则函数f(x)＝＝， |x＋3|－3x 4－?－x?4－xf(－x)＝＝－＝－f(x)， －xx4－x故函数f(x)＝是奇函数． |x＋3|－3 点评 判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件． 二、等价转化法 利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f(－x)±f(x)＝0来解决，方法比较简便． 三、图象法 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． 例11 判断函数f(x)＝|x＋2|＋|x－2|的奇偶性． 2 22 解 f(x)＝|x＋2|＋|x－2| 2x， x>2，?? ＝?4， －2≤x≤2，??－2x， x<－2， 其图象(如图)关于y轴对称，该函数为偶函数． 点评 利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见．同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会． 一道课本习题的拓展 x1＋x2f?x1?＋f?x2? 证明：(1)若f(x)＝ax＋b，则f()＝； 22 x1＋x2f?x1?＋f?x2?2 (2)若f(x)＝x＋ax＋b，则f()≤. 22 x1＋x2x1＋x2x1＋x2 探究 为自变量x1、x2中点，对应的函数值f()为“中点的纵坐标”．而 222 1 [f(x1)＋f(x2)]为x1、x2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”．f(x)＝ax2 x1＋x2 ＋b的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f()＝ 2 f?x1?＋f?x2?2 .而f(x)＝x＋ax＋b的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象 2 x1＋x2f?x1?＋f?x2? 可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f()≤. 22 8 拓展 在给定区间内，若函数f(x)的图象向上凸出，则函数f(x)在该区间上为凸函数， x1＋x2f?x1?＋f?x2? 结合图象易得到f()≥；在给定区间内，若函数f(x)的图象向下凹进， 22 x1＋x2f?x1?＋f?x2? 则函数f(x)在该区间上为凹函数，结合图象易得到f()≤.这一性质， 22 可以称为函数的凹凸性． 活用函数的基本性质 掌握函数与方程的互化，构造函数求值 某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决． 22例12 已知实数x，y满足(x＋x＋1)·(y＋y＋1)＝1，求x＋y的值． 解 由已知条件可得 x＋x2＋1＝－y＋?－y?2＋1. 2构造函数f(t)＝t＋t＋1. 2 显然f(t)＝t＋t＋1是R上递增函数． 因为f(x)＝f(－y)，所以x＝－y，即x＋y＝0. 55 例13 已知(x＋2y)＋x＋2x＋2y＝0，求x＋y的值． 55 解 已知方程化为(x＋2y)＋(x＋2y)＝－(x＋x)．① 5 由①式的结构，构造函数f(t)＝t＋t. 显然，f(t)是奇函数，且在R上单调递增． 由于①式可写成f(x＋2y)＝－f(x)＝f(－x)， 所以有x＋2y＝－x，即x＋y＝0. 三种数学思想在函数奇偶性中的应用 一、数形结合思想 例14 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________． 解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f(x)在[－5,5]上的图象(如图所示)，数形结合，得f(x)<0的解集为{x|－2 答案 (－2,0)∪(2,5] 二、分类讨论思想 例15 已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R)，试判断f(x)的奇偶性． 解 当a＝0时，f(x)＝x， 对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． 9 22 ax ax取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0， f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， ∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x＋(a≠0，x≠0)， 2 三、方程思想 例16 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝ x＋m，试求f(x)． x＋nx＋1 2 分析 利用奇函数的性质、定义求出参数m、n的值是关键． 解 由f(0)＝0知m＝0. 由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)， －x＋0x＋0即2＝－2， x－nx＋1x＋nx＋122 ∴x－nx＋1＝x＋nx＋1， ∴n＝0.∴f(x)＝ x2 x＋1 . 二次函数在某区间上的最值——思维规律解读 一、定函数在定区间上的最值 2 例17 求函数f(x)＝x－2x＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值． 2 解 f(x)＝(x－1)＋1，其对称轴为x＝1. 因为函数对称轴x＝1在区间[－1,4]内， 又函数开口向上，所以当x＝1时，f(x)取到最小值为1. 又f(－1)＝5，f(4)＝10， 所以在x＝4时，f(x)取到最大值为10. 二、定函数在动区间上的最值 2 例18 函数f(x)＝x－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式． 2 解 f(x)＝(x－1)＋1，其对称轴为x＝1. 当t＋1<1时，即t<0时，区间[t，t＋1]在对称轴的左侧，f(x)在此区间上是减函数． 22 所以此时g(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)－2(t＋1)＋2＝t＋1. 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，对称轴x＝1在此区间内， 又函数开口向上． 2 所以此时g(t)＝f(1)＝1－2＋2＝1. 当t>1时，区间[t，t＋1]在对称轴的右侧，f(x)在此区间上是增函数． 2 所以此时g(t)＝f(t)＝t－2t＋2. t＋1， t<0，?? 综上得g(t)＝?1， 0≤t≤1， ??t2－2t＋2， t>1. 2 三、动函数在定区间上的最值 2 例19 函数f(x)＝x＋ax＋3在区间[－2,2]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式． 解 f(x)＝(x＋)＋3－， 24其对称轴为x＝－. 2 当对称轴x＝－在区间[－2,2]的右侧， 2 10 a2 a2 aa