即－≥2，a≤－4时，f(x)在此区间上是减函数．
2
所以此时g(a)＝f(－2)＝7－2a.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]内时，如果－2<－<0，
22
即0
如果0<－<2，即－4
2
则x＝－2距离对称轴较远，此时f(x)在x＝－2时取到最大值，为g(a)＝f(－2)＝7－2a.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]的左边，
2
即－≤－2，a≥4时，f(x)在此区间上是增函数．
2
所以此时g(a)＝f(2)＝7＋2a.
??7＋2a， a>0，
综上得：g(a)＝?
?7－2a， a≤0.?
aaaaaa
四、动函数在动区间上的最值
2
例20 设a为实数，函数f(x)＝x＋|x－a|＋1(x∈R)，求f(x)的最小值． 解 ①当x≤a时，
3?1?22
函数f(x)＝x－x＋a＋1＝?x－?＋a＋，
4?2?
1
若a≤，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，
2
2
从而f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a＋1；
1
若a＞，则f(x)在(－∞，a]上的最小值为
2?1?3
f??＝＋a. ?2?4
②当x≥a时，
3?1?f(x)＝x2＋x－a＋1＝?x＋?2－a＋， 4?2?
1
若a≤－，则函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为
2
?1?3
f?－?＝－a； ?2?4
1
若a＞－，则函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小
22
值为f(a)＝a＋1.
13
综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值为－a；
24
112
当－＜a≤时，函数f(x)的最小值为a＋1；
2213当a＞时，函数f(x)的最小值为a＋.
24
点评 当二次函数在某个区间上求最值时，其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论．
11
形如“y＝x＋(a>0)”的函数图象的探究
例21 试探究函数f(x)＝x＋(a>0)，x∈(0，＋∞)的单调区间． 解 任取0 axaxax1ax2 x1x2 由于x1－x2及x1x2的符号已定， 从而f(x1)－f(x2)的符号取决于x1x2－a的符号． 由于x1，x2只能取f(x)的某个单调区间上的值，因此考虑x1＝x2这一极端情形， 2 则x1x2－a＝x1－a，若为零，得x1＝x2＝a， 从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，a)及[a，＋∞)， 由此讨论它的单调性即可． 任取0 同理可知，函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增． 由f(x)是奇函数，知f(x)在(－∞，－a)上单调递增，在(－a，0)上单调递减． 由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象： ?x1－x2??x1x2－a? . 知识延伸 (1)函数y＝x＋(a>0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便． x2＋2x＋3 (2)对形如f(x)＝这种“分式型”的函数，求它在区间[a，b]上的最值，常用 ax x“分离变量”法转化为y＝x＋(a>0)模型求解． 谈复合函数的单调性 设y＝f(t)是t的函数，t＝g(x)是x的函数，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t)＝f[g(x)]． 如函数y＝1－x，若设t＝1－x，则y＝t.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y＝1－x是x的复合函数，把t称为中间变量． 问题1 已知函数y＝f(t)的定义域为区间[m，n]，函数t＝g(x)的定义域为区间[a，b]，值域D?[m，n]．若y＝f(t)在定义域内单调递增，t＝g(x)在定义域内单调递增，那么y＝f[g(x)]是否为[a，b]上的增函数？为什么？ 探究 y＝f[g(x)]是区间[a，b]上的增函数．证明如下： 任取x1，x2∈[a，b]，且x1 因为t＝g(x)在[a，b]上递增，所以g(x1) 12 ax 故f(t1) 问题2 若将g(x)在区间[a，b]上“递增”改为“递减”或将f(x)在区间[m，n]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y＝f[g(x)]在区间[a，b]上的单调性又如何呢？ 探究 利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论： y＝f(t) 递增 递减 t＝g(x) 递增 递减 递增 递减 y＝f[g(x)] 递增 递减 递减 递增 以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性． 1 例22 求函数y＝2的单调区间． ?x＋1?1 解 函数y＝2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， ?x＋1? 12 设t＝(x＋1)，则y＝(t>0)． t当x∈(－∞，－1)时，t是x的减函数，y是t的减函数， 1 所以(－∞，－1)是y＝2的递增区间； ?x＋1? 当x∈(－1，＋∞)时，t是x的增函数，y是t的减函数， 1 所以(－1，＋∞)是y＝2的递减区间． ?x＋1?1 综上知，函数y＝2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)． ?x＋1?1 试一试 求y＝2的单调区间． x－2x－32 解 由x－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3， 12 令t＝x－2x－3(t≠0)，则y＝， t1 因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数， t而t＝x－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数， 1 在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y＝2的递增区间为(－∞，－1)，(－ x－2x－3 1,1)， 递减区间为(1,3)，(3，＋∞). 2 函数基本性质如何考？ 1．(辽宁高考)设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f? ?x＋3? ??x＋4? 的所有x之和为( ) A．－3 B．3 C．－8 D．8 解析 因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x) 13 ＝f? ?x＋3?，只有两种情况： ??x＋4? x＋3x＋3 ； ②x＋＝0. x＋4x＋42 由①知x＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3. 2 由②知x＋5x＋3＝0，故两根之和为x3＋x4＝－5. 因此满足条件的所有x之和为－8. ①x＝答案 C 1 2．(全国Ⅱ高考)函数f(x)＝－x的图象关于( ) xA．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 1 解析 f(x)＝－x的定义域为{x|x≠0}， xx1?1?∵f(－x)＝－＋x＝－?－x?＝－f(x)． ?x? ∴f(x)是一个奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称． 答案 C 3．(重庆高考)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( ) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数 解析 令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1. 令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1， 即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1.所以f(x)＋1为奇函数． 答案 C 4．(湖南高考)若f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝ 2 ax＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a的取 值范围是( ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1] 解析 结合图象，由f(x)在[1,2]上为减函数知a≤1， 由g(x)在[1,2]上是减函数知a>0.∴0 22 解析 ∵f(－x)＝f(x)且f(x)＝bx＋(2a＋ab)x＋2a， 2222 ∴b(－x)＋(2a＋ab)(－x)＋2a＝bx＋(2a＋ab)x＋2a， ∴－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2. 2 当a＝0时，f(x)＝bx，∵f(x)值域为(－∞，4]， 2 而y＝bx值域不可能为(－∞，4]，∴a≠0. 222 当b＝－2时，f(x)＝－2x＋2a，值域为(－∞，2a]． 222 ∴2a＝4，∴a＝2.∴f(x)＝－2x＋4. 2 答案 －2x＋4 6．(上海高考)若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b，的取值范围是________． ??ax－ab＋2 ?x≥b?， 解析 f(x)＝? ?－ax＋ab＋2 ?x ∵函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴必有a>0，且[0，＋∞)是[b，＋∞)的子集， 14 即a>0，且b≤0. 答案 a>0且b≤0 15