评卷人 得分 22．（本题满分12分）
如图A、B、C为函数y?log1x的图像上的三点，它们的横坐标分别
3是t、t?2、t?4，?t?1? （1）设⊿ABC的面积为s，求s?f?t?； （2）判断函数s?f?t?的单调性； （3）求函数s?f?t?的最大值。
评卷人 得分
附加题（本题满分10分，不计入总分）
设a为实数，记函数f?x??a1?x2?1?x?1?x的最大值为g?a?。 （1）设t?1?x?1?x，求t的取值范围，并把f?x?表示为t的函数m?t?； （2）求g?a?.
遵化市2013--2014学年度第一学期期中考试
高 一 数 学 答案
（2013.11）
一、选择题：1-5 ＡＣＤＢＤ， 6-10 ＢＡＤＣＡ， 11、12 ＤＢ 二、填空题：13、0?a?1或a?1 14、４ 215、x?3且x??1且 x?0 16、f?g?x????三、解答题： 17解：原式??x?1 ?x??1? ???x?1? ?x??1??x?1?2??x?3?2=x?1?x?3---------------------------4分
因为?3?x?3
所以当?3?x?1时，原式=??x?1???x?3?=?2x?2---------------6分
当1?x?3时，原式=?x?1???x?3???4?x?1???x?3???4--------8分 所以原式????2x?2 ??3?x?1?----------------------------------------------------10分 ??4 ?1?x?3?218. 解：∵A?xx?4x?0,x?R=??4,0?且B?A
??所以集合Ｂ有以下几种情况
B??或B???4?或B??0?或B???4,0?---------------------------------------------4分
分三种情况①当B??时，??4?a?1??4a2?1?0解得a??1；--------------6分
2??②当B???4?或?0?时，??0解得a??1，验证知B??0?满足条件；----------8分
??4?0?a2?1③当B???4,0?时，由根与系数得?解得a?1，---------------10分
??4?0??2?a?1?综上，所求实数a的取值范围为a??1或a?1-----------------------------------------12分 19. 解：（1）设每月用气量为x立方米，支付费用为y元，
?3?C ?0?x?A? -------------?1?根据题意得y??---------------------------------4分
??????3?Bx?A?C x?A????2?由题设知A?4,0?C?5∴3?C?8
从表格中可以看出第二、三月份的费用均大于8元，
故用气量25立方米、35立方米均应大于最低额A立方米，------------------------6分
?3?C?4,?从而将x?25,x?35代入（1）、（2）得?3?B(25?A)?C?14------------------8分
?3?B(35?A)?C?19??A?5?解得?B?0.5-------------------------------------------------------------------------------------9分
?C?1?(2)由（1）得y???4 ?0?x?5? -----------------------------------------------------11分
?0.5x?1.5 ?x?5?把x?30代入，得y?16.5∴四月份煤气费应付16.5元。------------------12分 20. 解：（1）∵f?x?的定义域为R，任取x1?x2
112x1?2x2则f?x1??f?x2??a?x ?a?x2?21?12?11?2x11?2x2????∵x1?x2∴21?2
xx2?0，1?2x11?2x2?0
????
∴f?x1??f?x2??0即f?x1??f?x2?
∴不论a为何实数f?x?总为增函数，------------------------------------------ 6分 （2）∵f?x?为奇函数，∴f??x???f?x?
111a???a? 解得--------------------------------------------8分
22?x?12x11（3）由（2）f?x???x
22?111x?1 ∴?1??x?0 ∵2?1?1∴0?x2?12?111∴??f?x??
22即a?∴f?x?的值域为???11?,?------------------------------------------------------------12分 ?22?221. 解：（1）因为f?x?定义域为R，所以ax?2x?1?0对一切x?R成立，
?a?0由此得? 解得a?1---------------------------------------------3分
???4?4a?01?1?又因为ax2?2x?1?a?x???1??0
a?a?所以f?x??lg(ax?2x?1)?lg?1?22??1??， a?所以实数a的取值范围是?1,???
??1??---------------------------------------------------------6分 f?x?的值域是?lg?1??,??????a??（2）因为f?x?的值域是R，所以u?ax?2x?1的值域??0,???
2当a?0时，u?2x?1的值域为R??0,???；
?a?0?2当a?0时，u?ax?2x?1的值域??0,???等价于?4a?4
?0??4a解得0?a?1
所以实数a的取值范围是?0,1?------------------------------------------9分
当a?0由2x?1?0得x??1?1?，f?x?定义域为??,???；------------------10分 2?2?当0?a?1时，由ax?2x?1?0解得
2x??1?1?a?1?1?a 或x?
aa?????1?1?a???1?1?a????---------------------12分 ,?????aa???所以f?x?得定义域是???,22. 解：（1）过A、B、C分别作AA1、BB1、CC1垂直于x轴，垂足为A1、B1、C1， 则S?SAA1B1B?SBB1C1C?SAA1C1C?t2?4t?4????log1??log1??? ?t?1?-----6分 32??t?2?2??t?4t??3?2（2）因为u?t?4t在?1,???上是增函数，且u?5，
v?1?49在?5,???上是减函数，且1?v? u5 所以S?log3v在?1,?上是增函数
5 所以复合函数S?f?t??log3?1??9?????4??在?1,???上是减函数--------------------10分
t2?4t? （3）由（2）知t?1时S有最大值，
最大值是f?1??log323(一中专题)
解：（1）因为t?1?x?1?x，
所以要使t有意义，必须1?x?0且1?x?0，即?1?x?1 因为t2?2?21?x2??2,4?，且t?0---------------------------------① 所以t得取值范围是 由①得1?x?29?2?log35---------------------------------------------------12分 5?2,2?
12t?1 2所以m?t??a?t?1??t?2?1?2??12at?t?a，t?2,2；-------------------------------2分 212at?t?a,t?2??（2）由题意知g?a?即为函数m?t???2,2的最大值。
?
因为直线t??112是抛物线m?t??at?t?at的对称轴， a2所以可分以下几种情况进行讨论：
?2,2?的图像是开口向上的抛物线的一段，
1由t???0知m?t?在t??2,2?上单调递增，故g?a??m?2??a?2；---------4分
a②当a?0时，m?t??t，t??2,2?，有g?a??2；------------------------------------6分 ③当a?0时，函数y?m?t?，t??2,2?的图像是开口向下的抛物线的一段，
① 当a?0时函数y?m?t?，t?若t??12?0,2，即a??时，g?a??m2?2， a21?a????若t???2,2，即??211?1?， ?a??时，g?a??m?????a?22a2a?? 若t??1?1???2,???，即a???,0?时，g?a??m?2??a?2------------------------9分 a?2?1?a?2,(a??)?2?121?综上，有g(a)???a?,(??a??)-------------------------------------------------10分
2a22??22,(a??)?2?