7. 用K-T
?1??是否为以下约束最优化问题的最优解。2条件判断点x??（P42-47） ????3??3322minf(x)?3x1?x2?2x1x2?2x3?6x2?9x3?922x1?x2?3?0s.t.x1?x3?4?0x1?0x2?0
8. 用K-T
?0??是否为以下约束最优化问题的最优解。0条件判断点x??（P42-47） ????4??3342minf(x)?8x1?x2?x1x2?2x3?6x2?9x3?17s.t.22x2?x1?3?04?x1?x3?0x1?0x2?0
9. 用K—T条件判断x???是否为以下约束最优化问题的最优解。（P42-47）
2 minf(x)?(x1?5)2?x2
?2??0?2 g1(x)?x1?x2?4?0 g2(x)??x2?0 g3(x)??x1?1?0
210.用黄金分割法求函数f(x)?x?2x在区间[0.8 , 1.1]中的极小点，迭代终止使
b?a用点距准则（P52） ??，精度??0.15。
b
11.用黄金分割法求函数f(x)?x2?3x?5在区间[1，1.8]中的极小点，迭代终止使
b?a用点距准则??，??0.3。 （P52）
b
12.用黄金分割法求函数f(x)?x?20在区间[0.2 , 1]中的极小点和极小值，迭代x准则b?a??，精度ε=0.4。（P52）
13.利用阻尼牛顿法求解 f(x)?4(x1?1)2?2(x2?1)2?x1?x2?10的极小值，初始点为
?0?x0???0??，迭代终止采用梯度准则?f(x)??，精度????0.01。（P65）
214.利用阻尼牛顿法求解 f(x)?4(x1?1)2?2x22?x3?x1?x2?10的极小值，初始点为
?0??，精度?x0???0???0???0.15，迭代终止使用梯度准则?f(x)??。（P65）
2215.对于f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2?2，初始点x0???，求共轭梯度法在第二次
?2??2?迭代的搜索方向d。（一维搜索可使用解析法，提示d??g1?β0d, β0?（P70）
110g1g022 ）
216.用变尺度DFP法求解f(x)?4?x1?1?2?x2初始?x1x2?10x1?7的极小值和极小解，
点x0???。（提示：变尺度矩阵迭代公式：
1???1? Hk?1?Hk?????x???g?xk??xkkTT?Hk??gk???gk?T?Hkk??gk?T?Hk??gk，?gk?gk?1?gk，?xk?xk?1?xk，
迭代终止使用梯度准则?f( xk)??,精度??0.0015。一维寻优用解析法。）（P77-81）
17.用DFP法求解f(x)?2x12?x22?2x1x2?4x2的极小值，初始点x0???1??，第一次迭
???1??2?代H?I，得到x??2?，g0??f(x0)???，变尺度矩阵迭代公式：
????4??2?0?1?1Hk?1?Hk?????x???g?xk??xkkTT?Hk??gk???gk?T?Hkk??gk?T?Hk??gk，?gk?gk?1?gk，?xk?xk?1?xk，迭代终止
使用梯度准则?f(xk)??,精度??0.001。（一维寻优用解析法）。（P77-81）
2218.函数f(x)?4x1初?x2?40x1?12x2?136用DFP法迭代两次后的极小值和极小解，始点x0???。（提示：变尺度矩阵迭代公式：
Hk?1?Hk?8??9??????x???g?xk??xkkTT?Hk??gk???gk?T?Hkk??gk?T?Hk??gk，?gk?gk?1?gk，?xk?xk?1?xk，
一维寻优用解析法。）（P77-81）
19.用内点惩罚函数法求解以下数学优化问题的约束最优解。（无约束寻优部分用解析法）。（P160）
22??minf(x)?x1?2x2 ???s?t?g(x)?1?x1?x2?0
20.用内点惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）（P160）
22minf(x)?x1?x2?2x1?1s.t.g(x)?3?x2?0
21.用外点惩罚函数法求解以下数学规划问题的约束最优点。（无约束寻优部分用解析法）。（P163）
?min2f(x)?x1?x2Xx?D?R???D:g1(x)?1?x1?0 ? g(x)??x?012??
22.用外点惩罚函数法求解约束优化问题。(无约束求优部分可使用解析法) （P163）
2minf(x)?x1?4x1?5x2s.t.2x1?x2?0
x1?2?0
23.用混合惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）
（P164）
2minf(x)?4x1?x2?5s.t.
g(x)?1?x1?0h(x)?2x2?1?0
24.用混合惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）
（P164）
minf(x)?x1?2x2s.t.g(x)?1?x1?0 h(x)?x2?0
五、作图题
1.用图解法标注以下最优问题的最优点的位置，解析求最优解的准确坐标。（P22）
22minf(x)?x1?x2?4x1?2x2?5 s．t．x12?x2?2?0 2x1?x2?1?0
22.对于优化问题 minf(x)?(x1?2)2?16x2
s.t. g1?(x1?1)2?1?x2?0 2g2?(x1?1)2?(x2?4)2?9?0
（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;
（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）;
（3）若取初始点为可行点x01???，标注出可能得到的约束最优点x?(1)的位置 ； （4）若取初始点为可行点x02???，标注出可能得到的约束最优点x?(2)的位置 。
?2?（P34、35、22）
3.对于优化问题 minf(x)??x1?4?2??x2?5?2
22?x2?16?0 s.t. g1(x)?x1?3??4???1?g2(x)?x1?x2?4?0g3(x)??x1?0
(1)画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;
(2)画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）; (3)若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化x?(1) ; (4)若考虑约束，标注出本优化问题的约束最优点x?(2)的位置 ;
(5)若增加等式约束h(x)?x1?x2?0，标注出满足等式约束h(x)和以上不等式约束的最优点x?(3)的位置。（P22、34-35）
24. 对于优化问题 minf(x)?9?x1?4?2?x2
12s.t. g1(x)??x12?x2?1?0
2g2(x)?1x1?x2?1?0 2（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;
（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）; （3）标注出本优化问题的约束最优点x?可能出现的两个位置 。（P34-35、22）
5. 用图形表示以下优化问题（P34、35、22）
2minf(x)?25x1??x2?1?2s.t.22g1?x1?x2?16?0 2g2?x1?x2?1?0(1)画出可行域D，判断其是否为凸集（无需证明;
(2)画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明; (3)若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化x?(1)的位置;
6. 对于优化问题 minf(x)??x1?1?2??x2?1?2
s.t. g1(x)?(x1?3)2?(x2?1)2?1?0
g2(x)?2x1?x2?5?0 g3(x)??x1?0g4(x)??x2?0
（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;
（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）; （3）若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化x?(1)的位置; （4）若考虑约束，标注出本优化问题的约束最优点x?(2)的位置 。（P34、35、22）
六、综合题
1.如图所示，已知跨距为l，截面为矩形的简支梁，其材料密度为?，许用弯曲应力为[?b]，允许弯曲挠度为[?]，在梁的中点作用一集中载荷F，梁的截面宽度b不得小于bmin，现要求设计此梁，使其质量最轻。试写出该问题的规格化
2的优化设计数学模型（提示：矩形截面的抗弯模量为W?bh/6；简支梁的
23挠度为??Ml/48EI，其中，I?bh/12为矩形截面的极惯性矩 ，M为梁
的中间截面最大弯矩 ）。（P7-19、252-265）
2.有一个包装箱设计问题，要求它的体积为0.1立方米，为使包装箱尺寸比例匀称，它的长度不超过0.6米，设计该包装箱尺寸使其用材料最省。试建立该问题的优化设计规范化的数学模型。（P7-19、252-265）
3.如图所示，设计某单级标准直齿圆柱齿轮减速器参数，已知:要求输入扭矩T1?20Nm,齿轮的齿数比u?5,齿轮的许用接触应力为??H??600MPa，许用弯曲应力??F??480MPa,齿轮的齿宽系数?d?b?0.5~0.9（b为齿轮宽d1度，d1为小齿轮直径），该齿轮传动平稳，载荷系数K?1.2。试以体积最小
为目标优化设计该对齿轮传动，并要求满足齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度条件。（提示：齿面接触疲劳强度条件为
?H?2.5ZEZ??F?2KT1u?1????H?，齿根弯曲疲劳强度条件为2ubd12KT1YFaYSaY????F?,式中，ZE、Z?、Y?均为计算系数，本题中可以看
bd1m作为常数；YFa、YSa与大小齿轮的齿数有关）。（P7-19、252-265）
4.如图所示，要将某直径D=120mm圆棒原料加工成宽和高分别为b和h的矩形梁，
2并使其抗弯强度达到最大（矩形截面的抗弯模量为W?bh/6），并要求梁的
宽度b不小于60mm。试建立该优化问题的规范化的数学模型。（P7-19、252-265）
5.如图所示，设计一偏置曲柄滑块机构尺寸a、b、e，要求滑块的位移S与曲柄的转角? 之间满足S?F(?)的关系，要求滑块总行程H?200mm，机构运动过程中的最大压力角?max?30?。试建立该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）
6.某工厂共有两个车间并生产A、B两种产品。每生产A产品1台的产值为5万元，需占用一车间工作日2天，二车间工作日1天；每生产B产品1台的产值为3万元，需占用一车间工作日1天，二车间工作日1天。现在一车间可用于生产A、B产品的时间为10天，二车间可用于生产A、B产品的时间为8天，而且产品B的最大市场需求量为7台。如何组织安排A、B两种产品的合理投产数，以获得最大的总产值。试写出该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）