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第1章 误差分析和实验数据处理
用各种实验方法测量力、位移、应力、应变等物理量时，不可避免地存在实验误差。从制订实验方案。按照实验目的选择实验仪器和设备，确定实验方法和步骤，以及对测得的实验数据进行合理的分析和处理，都需要误差分析和数据处理方法的基本知识。
§1－1基本概念
一、真值、实验值、理论值和误差
(一) 真值是客观上存在的某个物理量的真实值。例如实际存在的力、位移、长度等数值，需要用实验方法测量，但由于仪器、方法、环境和人的观察力都不能完美无缺，所以严格说来真值是无法测得的，我们只能测得真值的近似值。
(二) 实验值是用实验方法测量得到的某个物理量的数值。如用测力计测量构件所受的力。
(三) 理论值是用理论公式计算得到的某个物理量的数值，例如用材料力学公式计算梁表面的应
力；又如根据牛顿第二定律出力和质量计算得到的加速度值。
(四) 误差：实验误差是实验值与真值的差值，理论误差是理论值与真值的差值。这里只讨论实验
误差，并简称误差。
二、实验误差的分类
根据误差的性质及其产生的原因可分为三类： （一）系统误差（又称恒定误差）：它是由某些同定不变的因素引起的误差，它对测量值的影响总是有同一偏向或相近大小。例如用未经校正的偏重的砝码称重。所得重量数值总是偏小；又如用应变仪测应变时，仪器灵敏系数放置值偏大（比应变片灵敏系数值），则所测应变总是偏小。
系统论误差有固定偏向和一定规律性，可根据具体原因采取适当措施予以校正和消除。 （二）偶然误差（又称随机误差）：它是由不易控制的多种因数造成的误差，有时大、有时小，有时正、有时负，没有固定大小和偏向。
例如用千分尺测量某钢球直径，在相同条件下，测量多次．所测得数据都不尽相同。其中就包含偶然误差。数据时大时小。常围绕某一中间值上下波动．如测量次数足够多。可从中发现偶然误差服从统计规律，其大小和正负的出现由概率决定。
(三）过失误等：它是显然与实际不符的误差，无一定规律，误差可以很大，主要由于实验人员粗心，操作不当或过度疲劳造成。例如读错刻度，记录或计算差错；此类误差只能靠实验人员认真细致地正确操作和加强校对才能避免。以下只讨论前两类误差。
三、关于准确度和精密度
准确度是指测量值与真值接近的程度，
精密度是指多次测量所得数据的重复程度。一组测量数据重复性好即精密度高，但不一定准确
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度高，即所测数据可能都与真值相差较大。而另一组测量数据，若准确度高则精密度也一定高，这两者区别还可用打靶的例子说明，图1-1，a表示准确度和精密度都高；b表示精密度高而准确度不高，即打靶较集中但离靶心较远。C表示两者都不高。
准确度主要由系统误差决定，系统误差小则准确度高，精密度由偶然误差决定。偶然误差小则精密度高，准确度和精密度都高的测重又可称为精确度高的测量。 图1-1不同打靶结果说明准确度和精密度
§1－2有效数字与计算法则
在测量数据计算中，确定用几位数字代表测量结果十分重要，测量数据的位数与测量准确度有关，位数取的过多，超过测量可能的准确度是不对的；相反，位数过少，低于测量能达到的准确度也是错误的。
一、有效数字
测量时要估读到仪表刻度上最小一格中的分数，而不能将它略去，例如用电阻应变仪（YJD－l型）测量应变时，读数盘上每分格为 5με（微应变）应估读到1με。譬如853με。这三位数叫有效数字，前两位是准确的，末一位数欠准确。
数字 0可以是有效数字，也可以不是。例如长度 0．00450 m前三个 0均非有效数字，因为 这些 0只与所取单位有关，而与测设准确度无关。如用mm为单位，则变成4.50毫米，前三个0消失，后一个0是有效数字，有效位数三位，后一个0如丢掉，则有效位数变成二位，数值的准确度降低了。
二、计算法则
数据处理中往往需要对不同准确度的数据进行运算，如按一定法则进行计算，既节省时间又避免计算过繁。下面列举常用的基本计算法则：
（一）记录数据时，只保留一位可疑数字。一般可疑数字表示末一位上?1个单位，或下一 位有?5个单位的误差。
（二）有效数字以后的数字舍弃方法：凡未位有效数字后的第一位数字大于5，则在末位上增加1，若小于5则会去不计，如等于5时末位如为奇数则增加入如为偶数则舍去不计。 例如，对56.0247取4位有效数字时为56.02，取5位时为56.025；
（三）计算有效数字位数时，如第一位数字＞ 8则可多算 1位，例如 9.15虽然只有3位但是可作4位看待。
（四｝加减法运算时，各数所保留的小数点后的位数应与各数中小数点后位数最少的相同。例如 12.58＋0.0081＋4.546应写为: 12.58+0.01＋ 4．55=17.14而不应算成17.14
（五）乘除法时，各因子保留的位数以有效数字最少的为准，所得积或商的准确度不应高于准确度最低的因子。
（六）大于或等于四个的数据计算平均值时，有效位数增加1位。
（七）表示准确度一般只取1位数字，最多取2位。
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§1－3系统误差的消除
要根据具体原因尽可能消除或减小系统误差，下面介绍两种常用方法： 一、对称法
利用对称性进行实验可以消除系统误差。如在做拉伸实验时，常在拉伸试件两侧对称位置上同时粘贴两个电阻应变片（或安装两个引伸计）测量应变（或伸长），把两个数据取平均值，这样就消除了由于加载偏心引起的系统误差。
同样在进行圆筒形容器应力测定时，常常在筒身或封头的轴对称位置上布置几个电阻应变片测点，可以消除由容器加工尺寸和受力不匀引起的系统误差而得出有代表性的应变值。
二、校准法
用更准确的仪器校准实验仪器以减小系统误差，或用通过分析给出的各种修正公式修正实验数据以消除系统误差。
例如材料试验机的测力度盘具有土1％的精度（称为三级测力计），应定期用二级标准测力计（精度±0．5%）进行校准，校准时记录刻度盘读数和标准测力计读数，可供以后修正数据用。又如电阻应变仪的灵敏系数盘，应定期用标准应变模拟仪进行校准。
在采用长导线进行电阻应变测量时，导线电阻较大，它引起应变读数固定偏小的误差。经分析可用下列公式进行修正以消除系统误差：
???e(1?
Rl)R式中?为修正后的应变值，?e为应变仪读数，R为应变片电阻值，Rl为长导线电阻值。
一般情况下，系统误差可能由多种因素引起，需具体分析、逐项排除或修正。
§1-4 偶然误差的理论
一、误差的正态分布
实验时我们希望测量值尽量接近真值，在消除系统误差和过失误差之后，实验数据中仍包含偶然误差，我们先举一个例子。
检定一批电阻应变片的灵敏系数时，因为应变片只能粘贴使用一次，因此只能在这批应变片中按规定比例抽样检测一小批应变片的灵敏系数，以这一小批应变片的灵敏系数测量值和分散度反映这一批应变片的灵敏系数特性。
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例如从某批箔式应变片中抽出58片测量灵敏系数，因为用同样粘贴工艺粘贴在标定梁上，梁表面的应变是均匀的，因此各应变片应变读数的分散就是其灵敏系数的分散。将应变读数按大小排列如下：
应变读数最大差数???774?755?19??，将其分成10组，每组间隔2??。取横坐标为??读数，纵坐标为相对频数，当片数多时可近似称为概率，即片数除总片数的相对百分比，画出直方图，并连成近似曲线如图1－2所示，
这10组应变读数区间与相应的片数列表于1－1中。
从图2－2中可见，?读数在765??。附近的概率高，片数多；离?=765 ??越远的片数越少，概率低，并且如将原点移到O’点（??765??）时，可看出分布曲线对称于纵轴。这种偶然误差的内在规律称为误差的正态分布，正负误差的概率相等。
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二、高斯误差分布定律
从误差分布曲线，我们可看出偶然误差有下列特性：
（一）小误差出现的概率高，大误差出现的概率低，绝对值很大的误差出现的概率近于零。 （二）绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 高斯于1795年找出误差函数形式为： y?p(x)?
y?12?Se?x2/2S2
h?e?h2/x2
式中 S—标准误差， h——精密度指数， p（x）——概率密度，
此式称为高斯误差分布定律，S与h有如下关系：
h?12S
在有限测量次数时，或然误差计算公式：
实验结果的精密度可用绝对误差表示，也可用相对误差表示，并常用相对百分误差表示。 根据（2－1）式作曲线可见x越大，y值越小，x越小，y值越大，当x=0时， y?h??12?S
y。是误差分布曲线上的最高点，它与S成反比，与h成正比。因此h越大S越小时曲线中部越高，两边下降越快；反之，曲线变得越平。h反映测量的精密度大小，S决定误差曲线幅度大小，并表示曲线的转折点。
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