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三、偶然误差的表示法 X （一）算术平均值Xa 由下式计算算术平均值
1n Xa?(?Xmi)
ni?1式中Xmi——测量值，i表示第次数，n是测量次数，当n??时，Xa?Xt，Xt表示真值。 利用最小二乘法原理可以确定一组测量值中的最佳值，它能使各测量值误差的平方和为最小，而最佳值正好是算术平均值。
(二）标准误差S
测量值误差?i?Xmi?Xt，则标准误差： S?1n??i?1n2i
标准误差是各测量值误差平方和的平均值的平方根，又叫均方根误差，它对较大或较小的误差反应比较灵敏，它是表示测量精密度较好的一种方法。对于高斯误差分布在标准误差上?S区间内的概率总和为68．3%，在?2S区间内的概率总和为95%，在?3S区间内的概率总和为99．7%。可以认为在有限测量次数中某一测量值出现概率为0．3%已极小，故超出?3S的误差可认为不属于偶然误差而是系统误差或过失误差。
（三）有限测量次数的标准误差
当测量次数无限多时算术平均值Xa才是真值Xt，而测量次数有限时Xa只是近似真值。
设测量值偏差ai?Xmi?Xa，它与误差?i?Xmi?Xt不等，由测量中正负误差出现的概率相等可推出下式：
?ai?1n2i?n?1n??in2i
由此式可见，有限测量次数中自算术平均值计算的偏差平方和永远小于自真值计算的误差平方和，由此得出有限测量次数时标准误差计算公式：
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S?1n??i?1n2i?1n?1?ai?1n2i?1n?1?(Xi?1nmi?Xa)2
（四）或然误差
规定概率为 50%时的误差叫或然误差： ??0.6745S 在有限次数时，或然误差计算公式：
??0.67451n?1?(Xi?1nmi?Xa)2
（五）说明
上述的偶然误差的正态分布，在理论上是概率论中心极限定理推导的结果，在实际上是有大量实践所证实，因此得到广泛应用。但是中心极限定理有前提条件，而实际误差分布往往在分布曲线尾部与正态分布有一些差异，即对相当多的实际分布来说，正态分布只是一种近从有些实际误差分布则要按非正态分布来考虑。
§1-5 间接测量中的误差分析
在实验中，对长度、重量、位移等物理量能直接测量，但对应力等物理量一般不能直接测量，必须通过一些能直接测量的物理量按一定公式计算求得。这计算出的间接测量的结果具有一定的误差，如何由直接测量的误差计算间接测量的误差，此即误差传递规律问题。
间接测量中常有两种问题，一种是已知直接测量值的误差，求间接测量值的误差，即已知自变量的误差求函数的误差。另一种是给定间接测量值的误差，求各直接测量允许的最大误差，即已知函数的误差求自变量的误差。
一、已知自变量误差求函数的误差
设函数y?f(X1,X2,?,Xr)，其自变量X1,X2,?,Xr为r个直接测量的物理量，其标准误差分别为S1,S2,?,Sr。
对X1,X2,?,Xr各作了n次测量，可算出n个y值：
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式中e1,e2,?,er分别为X1,X2,?,Xr的相对标准误差。
二、已知函数误差求自变量的误差
当直接测量的物理量不只一个时，给定函数误差的控制值，要求各实验测量值的允许误差，这问题有多种分配方案。通常当各实验测量值的误差难以估计时，可用等效传递原理即假定各自变量的误差对函数误差的影响相等来解决，用下式：
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三、单次测量误差和算术平均值的误差
上面讨论的偶然误差是指一组等精密度的测量中随便选出某一测量值的误差，即称为单次测量误差。我们已知在一组测量中算术平均值是其中的最佳值，现运用上述间接测量的误差分析求算术平均值的误差，
由式（1－4）可知，Xa为每次测量值Xmi的函数，函数的标准误差由式（1—9）计算如下：
2Sx?(a?xa22?x?x)S1?(a)2S12?,??(a)2S12??Xm1?Xm2?Xmn1n222(S12?S2???Sn)
式中S1,S2,?Sn为单次测量的标准误差，对于等精密度的一组测量来说，它们彼此相等，即 S1?S2???Sn 则
S2xan2S2?2S?
nn由上式可见算术平均值的标准误差比单次测量的标准误差小得多（当n较大时）
§1-6 可疑数据的舍弃
概述
在实验测量中，有时出现一个或几个过大或过小的数据，有些实验人员按照主观判断加以取舍，这样是错误的，对于可疑的异常数据一般要分析出明确的物理或技术原因，然后决定取舍，例如用应变片测量构件应变，个别应变数据过大或过小，如经分析是由于应变片质量或安装（粘贴比原因造成异常，则可舍去，但如果分析不出原因，则应根据统计学的偶然误差理论来取舍处理这些可疑数据。
过去常用的可疑数据舍弃方法是由肖维纳早在1876年提出的，格拉布斯 于1950年、1969年提出了另一种方法。
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