1-1 已知三个矢量分别为A?ex?2ey?3ez；B?3ex?ey?2ez；
C?2ex?ez。试求①|A|, |B|, |C|；②单位矢量ea, eb, ec；③A?B；④
A?B；⑤(A?B)?C及(A?C)?B；⑥(A?C)?B及(A?B)?C。
解 ① A?22Ax?Ay?Az2?12?22???3??14
222B?Bx?By?Bz2?32?12?22?14 22C?Cx?Cy?Cz2?22?02???1??5
2② ea?AA1?ex?2ey?3ez? ??A1414BB1?3ex?ey?2ez? ??B1414CC1?2ex?ez? ??C55eb?ec?③ A?B?AxBx?AyBy?AzBz?3?2?6??1
exeyAyByezBzex3ey21ez?3?7ex?11ey?5ez 2④ A?B?AxBxAz?1⑤ ?A?B??C?72exexeyez?11?5?11ex?3ey?22ez 0?1exAyCyexCzex2ey20ez?3??2ex?5ey?4ez ?1因
A?C?AxCxAz?1则
?A?C??B??23exeyez?5?4??6ex?8ey?13ez
12⑥ ?A?C??B???2??3???5??1?13?2?15
?A?B??C?7?2?0???5????1??19。
1-5 设标量??xy2?yz3，矢量A?2ex?2ey?ez，试求标量函数?在点
(2, ?1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数。
解 已知梯度
???ex???????ey?ez?exy2?ey(2xy?z2)?ez3yz2 ?x?y?z那么，在点(2, ?1, 1)处? 的梯度为???ex?3ey?3ez
因此，标量函数?在点(2, ?1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数为
???A1??ex?3ey?3ez???2ex?2ey?ez??2?6?3??
3A??????1-6 已知标量函数???sinx??siny?e?z，试求该标量函数? 在点
2??3??P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。
解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数?的梯度为
???ex?????? ?ey?ez?x?y?z那么???ex???????cosx??sin2?2??3????y?e?z?ey?sin3?2????x??cos3???y?e?z ?
???????ez?sinx??siny?e?z
2??3??将点P(1,2,3) 的坐标代入，得????P??ey点的最大变化率为
????ey?6e?3?ez3?3e。那么，在P2?6Pe?3?ez3?3e?3e??2?27 26P点最大变化率方向的方向余弦为
cos??0； cos??????272；
cos???27??272
1-10 若C为常数，A及k为常矢量，试证：
① ?eck?r?Ckeck?r； ② ??(Aeck?r)?Ck?Aeck?r； ③ ??(Aeck?r)?Ck?Aeck?r。
证明 ①证明?eCk?r?CkeCk?r。
利用公式?F????F??????，则?eCk?r?eCk?r??Ck?r??CeCk?r??k?r? 而??k?r????kxx?kyy?kzz??exkx?eyky?ezkz?k求得?eCk?r?CkeCk?r。
②证明??AeCk?r?Ck?AeCk?r。
利用公式????A?????A?A???，则
????AeCk?r?A??eCk?r?eCk?r??A?A??eCk?r 再利用①的结果，则??AeCk?r?Ck?AeCk?r
③证明??AeCk?r?Ck?AeCk?r。
利用公式????A?????A????A，则
????????????AeCk?r??eCk?r?A?eCk?r??A??eCk?r?A 再利用①的结果，则??AeCk?r?Ck?AeCk?r。
2-2．由E?????????q可得:
4??0r?rW???r???????????Wqq??E?dl??e?dl?q0E?dl?q0?E?dl ??rr4??r?2rPq04??0r 0
2-4已知无限长圆柱导体半径为a,通过的电流为I,且电流均匀分布,试求柱内外的磁通密度. r>a
时, 时,
,,
r
2-6一个面积为a*b的矩形线圈位于双导线之间,位置如右图所示.两导线中电流方向 始终相反,其变化规律为
,试求线圈中感应电动势.
ydxI1O：
acbdI2???0I1?0I2B?ez[?]
2?x2?(b?c?d?x)磁
通
x???0I1???B?dS?S2???cb?c1(?)dxxb?c?d?x1?0I1a(b?c)(b?d)ln 2?cdd??0a(b?c)(b?d)dI1??ln 感应电动势：e?? dt2?cddt
2-8一个面积为ab的矩形导线框位于恒定磁场
k ,如右图所示.若线框
b以角速度绕其轴匀速旋转,在t=0 时刻框平面与y=0平面重合,试求当
和
时线框中的感应电动势.
?t??a2??当By?B0时，恒定磁场 ?1??B?dS??eyB0?eybcos(?t)dl?B0abcos?t0 dlS?a2ad?12 当By?B0cos?t时： ?2?B0abcos?t dt其中：dS?b?dl?cos?t e1??
3-4 已知真空中两个点电荷的电量均为2?10?6C，相距为2cm， 如习题图3-4所示。试求：①P点的电位；②将电量为2?10点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。 解 根据叠加原理，P点的合成电位为
q ? ?6C的
P 1cm r??2?q4??0r1cm 习题图3-4 y 1cm q ? ?2.5?106?V?
?6因此，将电量为2?10C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为W??q?5?J?
dlo E 习题图3-6
? a x 3-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷?l?的电场强度。
?0sin?, 0????， 试求圆心处
解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷?ldl在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的Ey分量，即
dE?dEy?考虑到dl?ldlsin? 24??0a?ad?,?l??0sin?，代入上式求得合成电场强度为
E?ey??0?0?sin2?d??0ey
4??0a8?0a
3-11 已知空间电场强度E?3ex?4ey?5ez，试求（0,0,0）与（1,1,2）两点间的电位差。 解 设P1点的坐标为（0,0,0,）, P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为
V??E?dl
P1P2式中
E?3ex?4ey?5ez, dl?exdx?eydy?ezdz，因此电位差为
V??
?1,1,2??0,0,0??3dx?4dy?5dz???3?V?
3-16 如习题图3-16所示，半径为a的导体球中有两个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q1及q2，在距离r??a处放置另一个点电荷q3，试求三个点电荷受到的电场力。
解 根据原书2-7节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因此，q1与q2之间没有作用力，q3对于q1及q2也没
习题图3-16 q1 a q2 q3 r 有作用力。但是q1及q2在导体外表面产生的感应电荷-q1及-q2，对于q3有作用力。考虑到r>>a，根据库仑定律获知该作用力为