f?
?q1?q2?q34??0r2
3-26 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。 解 已知点电荷q的电位为
Y -q ，令q1??q(0,1,0)，
+q 习题图3-26
点电荷共同产
-q 3cm +q 1cm X
??q4?? rq2??q(3,1,0)，q3??q(1,0,0)，q4??q(0,0,0)，那么，图中4个
生的电位应为
???14qi4?? ri?令??0，得
?q4?? r1qqq???0
4?? r24?? r34?? r4由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点，r1?r2, r3?r4，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点，r1?r4, r2?r3，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。
4-3 已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。 试求r?a与r?b两个表面之间的电阻。
解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
d r ? a (r,?) Y 1d?d???2???r??0 该方程的解为??r??C1lnr?C2
rdr?dr?0 X
b 习题图4-3
??b??0,求得常数C1??令??a??V0, V0。 blna那么，电场强度为E?r???V0d??e
brdrrlna电流密度为 J??E??V0brlnaer
?2电流强度为I??J?dS???0d?V0?b?aln???a?0ad?dz??b? 2ln???a??d?V0由此求得两个表面之间的电阻为
?b?2ln??V?a? R?0?I?d?4-9 恒定电流通过无限大的非均匀电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为
???????E??????????
?????解 已知恒定电流场是无散的，即 ??J?0，那么
????E?????E?E????0
又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即
??D???????E???????E?E?????
由上两式求得
???????E??????????
?????
5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即??感应强度应满足拉普拉斯方程，即?2B?0。
证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由B??0H及??H?J，得
?0）中，当存在恒定电流时，试证磁
??B??0J
对等式两边同时取旋度，得????Β????0J
????Β??0??J
2但是??J?0，考虑到恒等式????A?????A???A，得
????B?????B?0
又知??B?0，由上式求得
5-3 已知边长为a的等边三角形回路电流为I，周围媒质为 真空，如习题图5-3所示。试求回路中心点的磁感应强度。
解 取直角坐标系，令三角形的AB边沿x 轴，中心点P位于y轴上，电流方向如图示。由毕奥—沙伐定律，求得AB段线电流在P点产生的磁感应强度为
A o a a 习题图5-3 a P C a ?2B?0。
?0Idl??r?r??B1?
4??lr?r?3式中Idl??exIdx，r?ey3a，r??exx，即 6??3??exIdx??eya?exx?a?6?02????e33?0IB1?za34???22?a3eya?exx6
由于轴对称关系，可知BC段及AC段电流在P点产生的磁感应强度与AB段产生的磁感应强度相等。因此，P点的磁感应强度为
B?3B1??ez
93?0I 2?aZ I
Y
5-5 若在y??a处放置一根无限长线电流ezI，在y = a处 放置另一根无限长线电流exI，如习题图5-5所示。 试求坐标原点处的磁感应强度。
解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于y??a处的无限长线电流ezI在原点产生的磁场为
X
-a 0 I a H1??exI2?a习题图5-5
位于y?a处的无限长线电流exI产生的磁场为
H2??ezI2?a
因此，坐标原点处总磁感应强度为
B??0?H1?H2???
?0I?ez?ex? 2?ay 5-12 已知空间y < 0区域为磁性媒质，其相对磁导率
? r?5000, y?0区域为空气。试求：①当空气中的磁感应强度
磁性媒质中的磁感应强度B；②当磁性媒B0?(ex0.5?ey10)mT时，
?0 ?r o
习题图 5-12
质中的磁感应强度B?(ex10?ey0.5)mT时，空气中的磁感应强度B0。
解 根据题意，建立的直角坐标如图5-17所示。 ① 设磁性媒质中的磁感应强度为B?exBx?eyBy
已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续。因此
By??10，
Bx0.5?
5000?0?0求得 即
Bx?2500，By??10
B?(ex2500?ey10)mT
② 设空气中的磁感应强度为B0?exB0x?eyB0y 则由边界条件获知
B0x?0?10，B0y?0.5
5000?0求得 即
B0x?0.002，B0y?0.5
B0?(ex0.002?ey0.5)mT
z y I1 x d dy a I2 y
5-18 若无限长直导线与半径为a的圆环导线平行放置， 电流方向如习题图5-18所示。计算直导线与圆环之间的互感。 解 建立的直角坐标如图5-18所示，令长直导线位于z轴。那么，
习题图5-18
无限长z向电流在x?0平面内+y轴一侧产生的磁感应强度为
B1??ex?0I1 2?yB1产生的磁通与线圈电流I2交链的磁通链?21为
?I?21??B1?ds??01s2??d?aa2??d?y?y?21I1???0d
2d?ady???0I1d
因此，直导线与线圈之间的互感为?21?可见，?21为负，这是因为I2产生的磁通方向与互磁通方向相反导致的。
5-20 已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内外半径分别为b及c，内外导体之间为空气，当通过恒定电流I时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。 解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为
B1??0Ir 22?a
?r?a?
那么，内导体单位长度内的磁场能量为
Wm1?02??0Ir??BdV?I ??2?rdr??2?V012?02?0?2?a?16?2111a2在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为
B2??0I ?a?r?b? 2?rWm21?2?0?0I2b??0I?ln ?2?rdr??a?4?a?2?r?b2在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为
?0Ic2?r2 B3?2?rc2?b2Wm3?12?0??0Ic?r?b??2?rc2?b2?c22???2?rdr?
2
?4?c?b??0I2222??cb?c423????2cr?r?r?dr??