2015版人教A版必修2课本例题习题改编
湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com
1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．
正视图 侧视图 俯视图
改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线AA?与BC?所成的角为?，求cos?．
AA?A1B3正视图 B?C2侧视图 BCAB11C?A?3俯视图 B? 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．
由于底面?ABC的高为1，所以AB?12?12?2． 故所求全面积S?2S?ABC?SBB?C?C?2SABB?A?
AA?C2B
C?3B?1 ?2??2?1?3?2?2?3?2?8?62213这个几何体的体积V?S?ABC?BB???2?1?3?3(cm)
2（Ⅲ）因为AA?//BB?，所以AA?与BC?所成的角是?B?BC?．
在Rt?BB?C?中，BC??(cm2)．
BB?2?B?C?2?32?22?13，故cos??BB?33??13． BC?1313第 1页 共 12页
2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为
22P2P22O?2正视图 O?2O侧视图 2O俯视图 3cm）．
所以所求表面积S???1?2??1?2???1?2?7?(cm)，
2P2O?所求体积V???12?2????12?3?2??133?(cm3)． 3
O 3.原题（必修2第30页习题1.3B组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，
其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。
改编 已知直角三角形ABC，其三边分为a,b,c,（a?b?c）.分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1,S2,S3和
V1,V2,V3,则它们的关系为 ( )
A.S1?S2?S3, V1?V2?V3 B.S1?S2?S3, V1?V2?V3
C.S1?S2?S3, V1?V2?V3 D.S1?S2?S3, V1?V2?V3 解：S1??(bc1bc1)(b?c),V1??()2a,S2??ac??c2,V2??bc2 , a3a31S3??ab??b2,V3??b2c, 选B.
34.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：
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(1)(2)(3)(4)
解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．
5.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）
改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为60?的直线共有 12 对.
改编2 如图正方体中，o，o1为底面中心，以oo1所在直线为旋转轴，线段BC1形成的几
何体的正视图为（ ）
D1A1O1B1C1DOABC
(A)(B)(C)第 3页 共 12页
(D)
解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C.
6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？
改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（ ）
(A)(B)(C)(D)
解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、D不可能，故选C.
7.原题（必修2第59页例3）改编 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面 α 有无数多个．答案：D.
8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1
相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.
改编 如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。
C 1 B 1 A 1
A
C B
解：液体部分的体积为三棱锥体积的
17，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的，88第 4页 共 12页
33x3777设空出三棱锥的高为x，则3=，所以，x=,液面高度为1?.
18229.原题（必修2第63页习题2.2B组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌
进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？ (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值； (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF是定值.
改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值； (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.
（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.
（6） （7）
BP,C??P,D??C,D,10.原题（必修2第79页复习参考题A组第十题）如图，已知平面?,?，且???A是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论. 改编 如图，已知平面?,?，且???AB,PC??,PD??C,,D是垂足．（Ⅰ）求证：AB?平面
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