交流电动机矢量控制变压变频调速系统（三） 第三讲 坐标
变换的原理和实现方法
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由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，
为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则
坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为
y=ax （3-1）
式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三
相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵，类似的还
有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：
（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；
（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；
（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：
i=ci′ （3-2）
式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：
u′=bu （3-3）
式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：
b=ct （3-4）
式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）
所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。假设磁势波形是按正
弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相
组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：
（3-5）
式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得：
（3-6）
（3-7）
图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系
用矩阵表示为：
（3-8）
如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求
逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：
（3-9）
式中，k为待定系数。
补充io后，式（3-8）变为：
（3-10）
则：
（3-11）
将c-1求逆，得到:
（3-12）
其转置矩阵为：
（3-13）
根据确定变换矩阵的第三条原则即要求c-1=ct，可得 和 ，从而有 和 ，
代入相应的变换矩阵式中，得到各变换矩阵如下：
二相—三相的变换矩阵：
（3-14）
三相—二相的变换矩阵：
（3-15）
对于三相y形不带零线的接线方式有，ia＋iｂ＋iｃ＝０则，iｃ=－ia－iｂ，由式（3-8）可以得到：
（3-16）
而二相—三相的变换可以简化为：
（3-17）
图3-2表示按式（3-16）构成的三相—二相（3/2）变换器模型结构图。
图3-2 3/2变换模型结构图
3/2变换、2/3变换在系统中的符号表示如图3-3所示。
图3-3 3/2变换和2/3变换在系统中的符号表示
如前所述，根据变换前后功率不变的约束原则，电流变换矩阵也就是电压变换矩阵，还可以证明，它们也是磁链的变换
矩阵。
3.3 转子绕组轴系变换（）
图3-4(a)是一个对称的异步电动机三相转子绕组。图中ωsl为转差角频率。在转子对称多相绕相中，通入对称多相交流
正弦电流时，生成合成的转子磁势fr，由电机学可知，转子磁势与定子磁势具有相同的转速、转向。
图3-4 转子三相轴系到两相轴系的变换
根据旋转磁场等效原则及功率不变约束条件，同定子绕组一样，可把转子三相轴系变换到两相轴系。具体做法是，把等
效的两相电机的两相转子绕组d、q相序和三相电机的三相转子绕组a、b、c相序取为一致，且使d轴与a轴重合，如
图3-4(b)所示。然后，直接使用定子三相轴系到两相轴系的变换矩阵(参见式3-15）。
3.4 旋转变换