P 0.7811779 LAMDA_E 3.905890 W_S 0.2801181 L_Q 0.1176380 W_Q 0.3011811E-01 PWORK 0.4882362
即单位时间需要修理的机器台数L_S=1.094110台,等待修理的机器台数
L_Q=0.1176380台,每台需要修复的机器的停工时间 W_S=0.2801181小时,等待修理的时间W_Q=0.03011811小时;机器正常工作概率p=0.78,每个修理工的劳动强度为 0.4882362.
（六）存储模型与Lingo软件求解
例题3-7 某电器公司的生产流水线需要某种零件，该零件需要靠订货得到。为此，该公司考虑到了如下费用结构：
（1）批量订货的订货费12000元/次； （2）每个零件的单位成本为10元/件； （3）每个零件的存储费为0.3元/（件?月）； （4）每个零件的缺货损失为1.1元/（件?月）. （6） 设该零件的每月需求量为800件；
问题(1)：公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使得全部费用最少；问题2：若明年对该零件的需求将提高一倍，则零件的订货批量应比今年增加多少？订货次数因为多少？
解：设单位时间内对某种物品的需求量，用D表示，一次订货记为Q，订货间隔期为T，一次订货费为CD，存储费用（和时间有关，如一个周期）记为Cp，由此可以计算出一个周期内的总费用，也就是一个单位时间内（如一年）的平均总费用为
TC?12CpQ?CDDQ
得到费用最小的订货量为：
Q*?2CDDCp12*
CDDQ*TC*?CpQ??2CDCpD
问题1：取一年为单位时间，由假设知，订货费为CD=12000元/次,存储费
Cp=3.6元(件.年),需求率D=96000件/年, 代入相关的公式得到：
2CDDCp?2?12000?960003.6?25298（件）
Q?*T*?Q*D?2529896000?0.2635（年）
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TC*?1CpQ?*CDD*?2CDCpD?2?3.6?12000?96000?91073（元/年）
2Q也可以利用Lingo软件求解，计算程序为：
C_D = 12000; D = 96000; C_P = 3.6;
Q = (2*C_D*D/C_P)^0.5; T = Q/D; n = 1/T;
TC = 0.5*C_P*Q+C_D*D/Q;
计算结果为：
Feasible solution found at iteration:
Variable C_D D C_P Q T N TC
进一步研究，全年的订货次数为
n?1T?3.7947（次）
n必须是整数，故还需要比较n=3和n=4时全年的费用。用Lingo软件求解为：
sets:
times/1..2/: n, Q, TC; endsets data:
n = 3, 4; C_D = 12000; D = 96000; C_P = 3.6; enddata @for(times: n=D/Q;
TC=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q;);
计算结果为：
Feasible solution found at iteration:
Variable C_D
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0 Value 91073.60 0 Value 12000.00 96000.00 3.600000 25298.22 0.2635231 3.794733 12000.00
D 96000.00 C_P 3.600000 N( 1) 3.000000 N( 2) 4.000000 Q( 1) 32000.00 Q( 2) 24000.00 TC( 1) 93600.00 TC( 2) 91200.00
即一年订货次数为4次为好。
问题(2)：若明年对该零件的需求将提高一倍，则明年的订货量应是今年的2倍，利用公式得到Q=35777（件），n=5.367。再比较n=5 和n= 6，经计算得到，每年应订货5 次为好，每次订货38400件。 利用Lingo软件求解，程序为：
sets:
order/1..99/: TC, EOQ; endsets
@for(order(i): EOQ(i)=D/i;
TC(i)=0.5*C_P*EOQ(i)+C_D*D/EOQ(i);); TC_min=@min(order: TC);
Q=@sum(order(i): EOQ(i)*(TC_min #eq# TC(i))); N=D/Q; data:
C_D = 12000; D = 192000; C_P = 3.6; enddata
计算结果为：
Feasible solution found at iteration: 0
Variable Value D 192000.0 C_P 3.600000 C_D 12000.00 TC_MIN 129120.0 Q 38400.00 N 5.000000
即每年订货次数为5次。
例题3-8设街中一报亭,平均每天出售报纸500份,报纸的销售量服从正态分布, 平均每天出售报纸500份,均方差为100份;买卖1份赚0.20元,如果卖不出,每份报纸亏0.10元,问每天应安排多少报纸才使盈利最大?
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解:设报纸的数量为Q,每卖出1份赚k元,如卖不出,1份赔h元,又设需求量为x份,当订购的报纸份数为Q时,利润C(Q): C(Q)???kQ,x?Q?kx?h(Q?x),x?Q
平均利润为:
E(C(Q))?Q?Q0[kx?h(Q?x)]f(x)dx????QkQf(x)dxkQf(x)dx??,
??Q??（k?h）xf(x)dx?hQ0?Q0f(x)dx????Q?(k?h)??(k?h)???Qxf(x)dx?hQ?hQ???QQf(x)dx??kQf(x)dx
?(k?h)??hQ?(k?h)?(Q?x)f(x)dx
?(k?h)??hQ?(k?h)?(x?Q)f(x)dx
Q??其中f(x)为销售量的分布函数密度,上式对Q求导数,并令导数为0,化简得到:
?Q0f(x)dx?kk?h
Q0已知k=0.2,h=0.1,故?f(x)dx?0.20.2?0.1?23;
在Lingo软件中,@psn(x)表示标准正态分布的分布函数,即
@psn(x)??x12?Q0??e?t/22dt
kk?h(1)因为要确定?@psn(Z)?1f(x)dx?的Q,只要确定标准正态分布函数
k2??Z??e?t/22dt?k?h,则有Q=?+?Z
(2)@psl(x)表示标准正态线性损失函数,即
@psl(x)?12????x(t?x)e?t/22dt
x???t为利用上述函数,(1)式中的公式化简:令
?,利用Q=?+?Z
???Q(x?Q)f(x)dx?12?????(x??)2?22Q(x?Q)edx??2???Z(t?Z)e?t22dt=?@psl(Z)
E(C(Q))?(k?h)??hQ?(k?h)?@psl(Z)
Lingo计算程序为:
k=0.2;h=0.1; mu=500;sigma=100;
@psn(Z)=k/(k+h);@free(Z); Q=mu+sigma*Z;
E_C_Q=(k+h)*mu-h*Q-(k+h)*sigma*@psl(Z);
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Variable Value
K 0.2000000 H 0.1000000 MU 500.0000 SIGMA 100.0000 Z 0.4307274 Q 543.0727 E_C_Q 89.09201
即应安排543份报纸出售,预期最大利润为89元.
注:在随机存贮问题中,由于Matlab具有常见分布的分布函数,此时利用Matlab求解会更方便.
三、实验任务
问题3-1：某商业银行拟在某市繁华商业区设置一定数量的ATM机，为此，银行根据客户的需求分析研究在该繁华区安装ATM机的数量与客户的需求关系。现在该商业区只有一台ATM机，根据历史的同期数据发现：使用ATM机的顾客到达过程为Poisson流，平均到达率为0.7人/min，使用时间服从负指数分布，每个顾客的平均使用时间是1.25Min。试研究银行是否需要在该商业区增加ATM机？
问题3-2：某个单人理发店有6个座位接待前来理发的顾客。当6个座位坐满时，后来的顾客将被拒绝入内而离去。根据历史的同期数据可知，顾客到达的过程服从poisson分布，平均每小时到达3个顾客，每个顾客平均理发时间为15min。试研究该理发店的运行情况，并分析该理发店是否需要扩建？
问题3-3：某工厂生产的一种产品需要某种零件，该零件需要靠订货得到。为此，该工厂考虑如下的费用结构：批量订货的订货费600元/次；零件的单位成本为20元/件；零件的存储费为0.6元/（件?月）；零件的缺货费为1.0元/（件?月）；假设该零件每月的需求量为1000件。问：
（1）不允许缺货，试求该工厂全年应分几批订货，各订多少货才使费用最少？ （2）当允许缺货，若缺货的损失费为每年每件12元，求该工厂的年最佳订货存储策略及费用。
问题3-4：某糕点店为中秋节制作各种月饼，平均每盒月饼的成本价为60元，售价120元。中秋节一过，每盒月饼只能按每盒10元出售。根据往年的经验，其销售量服从期望值为2000、均方差为1500的正态分布。试问该糕点店应生产多少盒月饼可获最大利润？期望利润是多少？
四、实验报告要求
实验报告包含下列几个部分：
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