(2)根据 以及 ，可以得到
,
.
由上两式可以解得
.
(3)由
和v < 0可以得到
,
.
由上两式可以解得
.
(4)由
和v > 0可以得到
,
.
由上两式可以解得
.
6-8 长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。
(1)证明重物的运动是简谐振动；
(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；
(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。
解
(1)以悬挂了重物后的平衡位置o为坐标原点，建立如图6-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点o时重力与弹力相平衡，即
图6-7
,
. (1)
当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x )，物体的运动方程可以写为
,
将式(1)代入上式，得
,
即
. (2)
重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。
(2)令
, (3)
方程式(2)的解为
. (4)
振幅可以根据初始条件求得：当t = 0 时，x0 = ?s，v0 = 0，于是
.
角频率和频率可以根据式(3)求得：
,
.
(3)位移与时间的关系：由 得到
,
以及当t = 0 时，x0 = ?s，v0 = 0，根据式(4)，可以
,
.
由以上两式可解得
.
故有
.
6-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率?作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为?0 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。
解 设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图6-8所示的坐标系。
由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为?的简谐振动。
振动系统的加速度为
图6-8
,
可见，加速度a的大小正比与振幅a，在最大位移处加速度为最大值
.
最大加速度amax对应于最大振幅amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式
,
.
由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为
.
6-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率?作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。
解 设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图6-9所示的坐标系。物体所受的力，有向下的重力mg和向上的支撑力n，可以列出下
图6-9
面的运动方程
. (1)
由简谐振动
,
可以求得加速度
.
当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为
,(2)
负号表示加速度的方向向下。如果这时物体仍不脱离木板，物体就能够跟随木板一起上下振动。将式(2)代入式(1)，得
. (3)
物体不脱离木板的条件是
,
取其最小值，并代入式(3)，得
,
于是可以求得物体和木板一起振动的最大振幅，为
.
6-11 一个系统作简谐振动，周期为t，初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等？
解 初相位为零的简谐振动可以表示为
.
振动系统的动能和势能可分别表示为