,
其中
.
(1)由已知条件可以得到
,
,
,
.
(2)绳上质点的横向速率为
,
所以
.
6-30 证明公式 。
解 根据
和,
所以可以将波速的表达式作如下的演化
,
故有
.
6-31 用横波的波动方程 和纵波的波动方程 证明横波的波速和纵
波的波速分别为 和 。
解 将平面简谐波波函数
分别对x和t求二阶偏导数：
, (1)
.(2)
将以上两式同时代入纵波波动方程[即教材中第167页式(6-62)]，得
,
所以
.
将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程[即教材中第169页式(6-64)]，得
,
所以
.
6-32 在某温度下测得水中的声速为1.46?103 m?s?1 ，求水的体变模量。
解 已知水中的声速为u = 1.46?103 m?s?1，水的密度为 入下式
，将这些数据代
,
就可以求得水的体变模量，得
.
6-33 频率为300 hz、波速为330 m?s?1的平面简谐声波在直径为16.0 cm的管道中传播，能流密度为10.0?10?j?s?1 ?m?。求：
3
2
(1)平均能量密度；
(2)最大能量密度；
(3)两相邻同相位波面之间的总能量。
解
(1)平均能量密度 ：根据
,
将已知量 得
和 代入上式，就可以求得平均能量密度，
.
(2)最大能量密度wmax：
.
(3)两相邻同相位波面之间的总能量w：将已知量
,
,
代入下式得
.
6-34 p和q是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为?、波长为?，p和q相距3?/ 2。r为p、q连线延长线上的任意一点，试求：
(1)自p发出的波在r点引起的振动与自q发出的波在r点引起的振动的相位差；
图6-10
(2) r点的合振动的振幅。
解
(1)建立如图6-10所示的坐标系，p、q和r的坐标分别为x1、x2和x，p和q的振动分别为
和 .
p点和q点在r点引起的振动分别为
和 .
两者在r点的相位差为
.
两者在r点的相位差也可以写为
可见，p点和q点在r点引起的振动相位是相反的，相位差为
。
(2) r点的合振动的振幅为
.
可见，r点是静止不动的。实际上，由于在??的上述表达式中不含x，所以在x轴上、q点右侧的各点都是静止不动的。
6-35 弦线上的驻波相邻波节的距离为65 cm，弦的振动频率为2.3?102 hz，求波的传播速率u和波长?。
解 因为相邻波节的距离为半波长，所以
.
波速为
.
6-36 在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？
解 在这种情况下，接收到的频率为
,
同时，因为 ，所以 ，即没有多普勒效应。
6-37 火车汽笛的频率为?，当火车以速率v通过车站上的静止观察者身边
时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为u。
解 火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为
,
火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为
.
观察者所接收到的笛声频率的变化为
.