13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆
的变形能。
解：方法1:
两杆的变形
?l(a)?PLEA1?4PLE?d22d d l d 2d P (a)
3l/8 l/4 3l/8 P (b)
?l(b)?2?P?3L/8?E??2d?/42?P?L/4?E?d/42?7PL4E?d2
外力的功
W(a)?12P?l(a)?2PLE?d22 W(b)?12P?l(b)?7PL8E?d22
功能原理
U(a)?W(a)?2PLE?d22 U(b)?W(b)?7PL8E?d22
方法2:
两杆的内力
N(a)?P N(b)?P
变形能
U(a)?NL2EA2?P2PL2E?d/422?2PLE?dP222U(b)?2??3L/8?22E??2d?/4C ??L/4?22E?d/4?7PL8E?d22
13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在P力作用下，试求桁架的变形能。
解：(1) 求约束力
XA A D B P l YA l l RB ?X?M?Y(2) 分析铰B
?0 P?XA?0 XA?PA?0 RB?2l?P?l?0 RB?P2P2
?0 RB?YA?0 YA?NBC NBD
B RB NBC 45o
RB
NBD?RB?P2 NBC?NBD
2RB?2P2
(3) 分析铰D
NDA D NDC NDB
P2 NDC?0
NDA?NDB?NBD?(4) 分析铰C
P NCA C NCA NCB
P 2P2NCB
NCA?NCB?NBC?
(5) 桁架的变形能
U??Nili2EA2??N2EA2P???2?212BClBC?NAClAC?NBDlBD?NDAlDA?2222?1??2???2EA????2?Pl??P?2l?2????l????2EA??2???2?1?Pl?0.957?2?EA2
13.3. 计算图示各杆的变形能。
解：(b)
l/3 (b)
A C EI 2l/3 P M B EI A dθ R (c) θ O B ds 方法1：
(1) 查表得C截面的转角
?C(2) 由功能原理
22?24ll?Ml ?l?3??3?????6EIl?99?9EIMU?W?12M?C?Ml18EI2
方法2
(1) 列出梁的弯矩方程
A C M B EI M/l x1 x2 M/l
M?M(x1)??x1??l ??M(x)??Mx?M22?l?(2) 求弯曲变形能
U??l/30M(x1)2EI2dx1??ll/3M(x2)2EI2dx2?Ml162EI2?8Ml162EI2?Ml18EI2
(c)
(1) 列出梁的弯矩方程
P Q(?) M(?) N(?) R θ O B M(θ)??PRsinθ
(2) 求弯曲变形能
U???M(?)l222EI3ds???/20(?PRsin?)2EI2?Rd??PR8EI
13.4. 传动轴受力情况如图所示，轴直径为40 mm，E=210 GPa，G=80 GPa。试计算轴的变
形能。
解：(1) 传动轴受力
ZA A A 1kN 0.36kN 0.08kN.m C B 200 200 0.36kN 0.08kN.m C 1kN 0.08kN.m B YA ZB YB
ZA?ZB?0.5 kN YA?YB?0.18 kN
(2) 弯矩方程和扭矩方程
My?x??ZAx?500x Mz?x??YAx?180x T?x??80
(3) 变形能
U?2??1EI0.20?500x?2EIy0.202dx?2?20.20?180x?2EIz2dx??0.20?80?222GIPdx???500x?dx?1?0.20?180x?dx?2??80??0.22GIP33?0.20.2?22??180??500?? 94210?10???0.04/64?33???80?92?0.242?80?10???0.04/32?0.0604 J(4) 使用功能原理求解本题 U?W??1212Pyfy?Pyl312Pzfz??312T?Pzl3?Py?1248EIz0.49?Pz?48EIy?122T?T?l/2GIP2?P?96EI2l32y?Pz2??4GI4TlP2
?96?210?10???0.04/644?360?1000??4?80?1080?0.49???0.04/32?0.0604 J13.7. 试用互等定理求跨度中点C的挠度，设EI=常量。
A C B P D
A l/2 (b) C l/2 P B
l/2 l/2 (a)
a 解：(a)
(1) 将P力移到C截面处，如下图
(2) 由位移互等定理
fC??21??12??B?a?Pl2P A C 2 B 1 D
16EI?a?Pal216EI
方向向上
(b)
(1) 将P力移到C截面处，如下图
(2) 由位移互等定理
fC??21??12?fC??C?l2??P?l/2?3EI3P A C 2 1 B
?P?l/2?2???2EI??3?l5Pl ????248EI??方向向下
13.8. 车床主轴可简化成EI=常量的当量轴，如图所示，试求在载荷P作用下，截面C的挠
度和前轴承B处的截面转角。
P B A C
解：(1) 约束反力
RA x2 4a RB x1 a RA?14P RB?54P
(2) 弯矩方程
M?x1???Px1 M?x2???14Px2
(3) 在C处作用单位集中力
1/4 截面C的挠度
A x2 B x1 1 C xM1?x1???x1 M5/4??2?2?14x2