fC???M?x1?M1?x1?l1EIdx1??M?x2?M1?x2?l2EIdx2?a0??Px1????x1?EIdx1??4a0 ?1??1???Px2????x2?35Pa?4??4?dx2? ?EI3EI??(4) 在B处作用单位集中力偶
1 A B x2 x1 C
1/4a 1/4a M2?x1??0 M2?x2???14ax2
截面B的转角
?B??M?x1?M2?x1?l1EI4a0dx1??M?x2?M2?x2?l2EIdx2?0???1??1??Px???x2??2?24Pa?4??4a?dx2?EI3EI
顺时针转向
13.9. 试求图示各梁截面B的挠度和转角。EI=常量 q
A a l C B
(a)
解：(1) 在B处作用虚加力Pf和Mf，并列出弯矩方程
A q C x2 x1 Pf Mf
B M(x1)??Pfx1?MM(x2)??122fqx2?Pf(l?a?x2)?M
f(2) 上式分别对Pf和Mf求偏导数
?M(x1)?Pf?M(x1)?Mf??x1 ??1 ?M(x2)?Pf?M??(l?a?x2)?M(x2)f
??1(3) 用卡氏定理求挠度和转角
fB??U?Pf??M(x1)?M(x1)l1EI?Pfdx1??M(x2)?M(x2)l2EI?Pfdx2??l?a0(?Pfx1?Mf)EI12(?x1)dx1??a0?qx2?Pf(l?a?x2)?MEI?M(x1)?M(x1)l12f[?(l?a?x2)]dx2
dx2?B??U?Ml?a0f?EI?Mdx1???M(x2)?M(x2)l2fEI2?Mf12??(?Pfx1?Mf)EI(?1)dx1??a0qx2?Pf(l?a?x2)?MEIf(?1)dx2（4）令上两式中的Pf和Mf为零
a0?1fB?0???2EI12EIqx22[?(l?a?x2)]dx2?3qa324EI(4l?a)
?B?0?a0?qx22(?1)dx2?qa6EI挠度和转角的方向与虚加力的方向一致
13.11. 图示刚架各杆的的EI相等。试求A的位移和截面C的转角。
a b P A C
解：(a) 应用莫尔定理
(1) 刚架各段的弯矩方程
M(a) x2 x3 h x1 ?x1??Px1 M?x2??0 M?x3??Pb
(2) 在A处垂直方向作用单位集中力
M1?x1??0 M1?x2??x2 M1?x3??a
1 A x2 x3 x1 C
A的垂直位移
?AV????M?x1?M1?x1?l1h0EIPb?aEIdx3?dx1??M?x2?M1?x2?l2EIdx2??M?x3?M1?x3?l3EIdx3
PabhEI1 A ???C x1 (3) 在A处水平方向作用单位集中力
M2?x1??0 M2?x2??0 M2?x3??x3
x2 x3 A的水平位移
?AH????M?x1?M2?x1?l1h0EIPb?x3EIdx3?dx1?2?M?x2?M2?x2?l2EIdx2??M?x3?M2?x3?l3EIdx3
Pbh2EI ???(4) 在C处作用单位集中力偶
A
x2 x3 C x1 1 M3?x1??1 M3?x2??0 M3?x3??1
C截面的转角
?C????M?x1?M3?x1?l1b0EIPx1?1EIdx1?dx1??M?x2?M3?x2?l2EIPb2dx2?=?M?x3?M3?x3?l3EIdx3?h0Pb?1EIdx3?2EI+PbhEIPb?b?2h?2EI
顺时针转向
13.12. 图示刚架各部分的EI相等，在一对P力作用下，求A、B两点间的相对位移。
P P B A
解：(1) 由于结构和载荷对称，取刚架一半分析
P A
x1 C a D h
C x2 (2) 弯矩方程
M?x1??Px1 M?x2??Ph?M?x1??P?x1 ?M?x2??P ?h(3) 应用卡氏定理
?A????M?x1??M?x1?l1h0EIPx1?x1EI?Pdx1?dx1??M?x2??M?x2?l2EIdx2?Ph3?P3EI?dx22?a/20Ph?hEIPah2EI?Ph2?2h?3a?6EI
(4) A、B间的相对位移
?AB?2?A?A、B两点相互靠近。
Ph2?2h?3a?3EI
13.13. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P作用下，试求节点B与D间的相
对位移。
A D B C P
l l
解：(1) 在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力
XA?P?B 2 C Pf 1 4 3 P
XA A 5 D YA 22ND 22Pf
Pf YA?P ND?P?(2) 求各杆的轴力
N1??N4?22Pf N2??22Pf N3??P?22Pf
2P?Pf N5?0 (3) 上式分别对Pf求偏导数
?N1?Pf??22 ?N2?Pf??22 ?N3?Pf??22 ?N4?Pf?1 ?N5?Pf?0
(4) 用卡氏定理求B点沿BD方向的位移
?BD??U?Pf?5?2?i?1Nili?NiEA?Pf22?)?Pf?l22(?)EA2(2P?Pf)?EA2l2?2EAPf?l(?22EA
(?P??Pf)?l(?22)??1?0(5) 令上式中的Pf为零
?BD?0?0?(?P)?lEA(?22)?(2P)?EA2l?0?(22?2)PlEA?2.71PlEA
方向为B向D靠近
13.14. 图示简易吊车的撑杆AC长为2 m，截面的惯性矩I=8.53×106 mm4。拉杆BD的A=600
mm。P=2.83 kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求C点的垂直位移，设E=200 GPa。
解：(1) 求出约束反力
XA?22D 45o B C 2
P
45o A 1m RD D 45o x2 45o B x1 C P
XA A YA P YA?22P RD?2P
(2) 求BD杆的轴力和AC杆的弯矩
N?2P M(x1)??22Px1 M(x2)??22P(1?x2)?2Px2