(3) 用卡氏定理求C点垂直位移
?CV??U?P?NlBD?NEA?P??M(x1)?M(x1)l1EI2Px1(??x12222dx1??M(x2)?M(x2)l2EI?x2dx2?2P?1EA?10?2???102EIx1)dx1
(1?x2)]dx222P(1?x2)?EI2Px2[????2PEA?P6EI?P6EI?2PEA?P3EI?0.0472?0.553?0.60mm方向向下。
13.15. 平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A的转角。
解：(1) 求各杆的弯矩方程
C x3 D 3l P A B 4l C P A x1 ? B x2 D M(x1)??Px1 M(x2)?P(3l?x2cos?) M(x3)??Px3
(2) 在梁上A处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程
C x3 D 1 A x1 ? B x2 M(x1)??1 M(x2)?1 M(x3)??1
(3) 用莫尔定理求A截面的转角
?A?????M(x1)M(x1)l13l02EI(?Px1)(?1)EI?15Pl2EI2dx1??5l0M(x2)M(x2)l2EIEIdx2??M(x3)M(x3)l3EIdx3dx3
dx1??9Pl?2P(3l?x2cos?)?133Pl2EI2dx2??4l0(?Px3)(?1)EI9Pl2EI2EI?转角的方向与单位力偶方向相同。
13.16. 等截面曲杆BC的轴线为四分之三的圆周，如图所示。若AB可视为刚性杆，在P作
用下，试求截面B的水平位移及垂直位移。
A C P P B
R A d? M(?) ? B
解：(1) 写出曲杆的弯矩方程
M????PRcos?
(2) 在B处垂直方向作用单位集中力
M1?????R?1?cos??
A C 1 B A d? M1??1 ? B ? B的垂直位移
?BV???M???M1??l3?EIds??3?/203PRcos?????R?1?cos?????Rd?EIPR?3?PR??1?3.36 ???EI?4EI?
??(3) 在B处水平方向作用单位集中力
C A d? M2??B 1 ? A B ? M2????Rsin?
B的水平位移
?BH???M???M2??l3?EI ???ds??3?/20PRcos??Rsin?EI?Rd?
PR2EI13.18. 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩m作用下，试求自由端的线位移和角位移。
h l m
解：(1) 求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程
T(x1)?m M(x2)?m
x2 x1 m (2) 在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程
x1 x1 1 x2 1 x2 T1(x1)?0 M1(x2)?x2T2(x1)?1 M2(x2)?1
(3) 用莫尔定理求自由端的位移
?H??T(x1)T1(x1)l1GIpdx1?mh?2M(x2)M1(x2)l2EI?32mhE?d2dx2?0??h0mx2EIdx2?2EI4?????T(x1)T2(x1)l1l0GIpm?1GIpdx1?dx1?h?M(x2)M2(x2)l2EImlGIp?mhEIdx2?32mlG?d4?m?1EI0dx2??64mhE?d4
自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。
13.19. 图示曲拐的自由端C上作用集中力P。曲拐两段材料的相同，且均为同一直径的圆截
面杆，试求C点的垂直位移。
A a x2 B a C x1 P
解：(1) 求BC杆的弯矩方程及AB杆的扭矩方程和弯矩方程
M(x1)?Px1 M(x2)?Px2 T(x2)?Pa
(2) 在C端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程
C x1 A x2 B 1 M(x1)?x1 M(x2)?x2 T(x2)?a
(3) 用莫尔定理求C端的垂直位移
?V????M(x1)M(x1)l1a03EIPx1?x1EI?Padx1?3dx1?a03?T(x2)T(x2)l2GIpdx2?34dx2??M(x2)M(x2)l2EIdx2?Pa?aGIp??a0Px2?x2EI34dx2
?Pa3EIGIp?Pa128Pa3E?d3EI?32PaG?d自由端的垂直位移单位力方向一致。
13.20. 平均半径为R的细圆环，截面为直径为d的圆形。两个力P垂直于圆环轴线所在的
平面(见图)。试求两个力P作用点的相对位移。
解：(1) 求曲杆的扭矩方程和弯矩方程
P P R R M(?) T(?)
) Q(?)? P T(?)?PR(1?cos?) M(?)?PRsin?
(2) 上两式分别对P求偏导数
?T(?)?P?R(1?cos?) ?M(?)?P?Rsin?
(3) 用卡氏定理求垂直位移
?V???T(?)?T(?)lGIpGIp34?Pds??M(?)?M(?)lEI?Pds2?0?2?0PR(1?cos?)?R(1?cos?)?Rd???PRsin?EI?Rsin??Rd?
?96PRGd?64PREd4313.23. 图示杆系各杆的材料相同，截面面积相等。试用力法求各杆的内力。
? ? A C B l P (b)
解：(1) 属一次静不定问题，取C为多余约束，约束反力为X1 X1
A C B ? ? D P 列出用力法求解的基本方程
?11X1??1P?0
(2) 求?1P
由上图知
A 2 C 1 3 B A 2 1 C 1 3 B ? ? D ? ? P N1?0 N1?1
D 分别对D点受力分析
2sin?由莫尔定理
3N2 D N1 α α N3 P P2sin?N2 N1 α α D N3
N2?P N3?? N2??12cos? N3??12cos?
?1P???i?1NiNiliEA[0?1lP1l???????????????]?0?????2sin??2cos??cos??2sin???2cos??cos?P1EA
(3) 求?δ11
3?11???i?1NiNiliEA?l????[l???????]???EA?2cos??cos??2cos??cos?112l12
l?1?1???3EA?4cos??(4) 求出X1
X1?0
(5) 求杆的内力
N1?N1?N1?X1?N1?0N2?N2?N2?X1?N2?PPPP2sin?P2sin?
N3?N3?N3?X1?N3??